Si$f$ es inyectivo en$B_r(z_0)$ y holomorfo en$\overline{B_r(z_0)} $, entonces$f(B_r(z_0))\cap f(\partial B_r(z_0) )=\emptyset$

Question

Necesito mostrar que si $f$ es holomorfo en un conjunto abierto $U$ , $\overline{B_r(z_0)} \subseteq U$ y $f|_{B_r(z_0)}$ es inyectivo, entonces $$ f^{-1}(w)= \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0) } \frac{zf'(z)}{f(z)-w}dz$ $ para $w \in f(B_r(z_0))$ #% . Pero no sé cómo puedo mostrar que $w \notin f(\partial B_r(z_0))$ . ¿Puedes ayudarme por favor?

Answer 1

Que se desprende de la asignación abierta teorema. Supongamos que hay un $z\in B_r(z_0)$ e una $w\in\partial B_r(z_0)$ tal que $f(z)=f(w)$. Tome $r'<r$ , de modo que $z\in B_{r'}(z_0)$. Usted sabe que $f\bigl(B_{r'}(z_0)\bigr)$ es un conjunto abierto y $f(w)=f(z)\in f\bigl(B_{r'}(z_0)\bigr)$. Por la continuidad, entonces hay un $s>0$ tal que $f\bigl(B_s(w)\bigr)\subset f\bigl(B_{r'}(z_0)\bigr)$. Pero entonces, si tomamos $s$ lo suficientemente pequeño como para que $B_{r'}(z_0)\cap B_s(w)=\emptyset$, esto va en contra de la inyectividad de $f|_{B_r(z_0)}$.