Mostrar que esta matriz no es diagonalizable

Question

Digamos que tengo una matriz:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} $$

1. ¿Es esta matriz diagonalizable?

2. ¿Un matriz 2x2 siempre tiene 2 valores propios (contando multiplicidad)? ¿Por qué es esto? Sé que esta matriz (porque es triangular inferior) tiene el valor propio de 2 con multiplicidad 2... pero ¿una matriz de este tamaño siempre tiene 2 valores propios? ¿Por qué es esto?

¿Hay alguna forma de saber rápidamente si el valor propio de 2 tiene dos eigenvectores o no? Aquí está la forma que conozco para encontrar el eigenvector:

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ eigenvector = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ t \end{bmatrix} = t * \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Según este teorema, no es diagonalizable porque solo tiene 1 eigenvector, ¿verdad?, y la matriz tiene 2 filas y 2 columnas:

Answer 1

1. No, no es diagonalizable. Si los dos valores propios de una matriz de $ 2 \times 2 $ fueran distintos, lo sería; cuando son iguales, tal vez lo sea (pero en este caso no lo es).

2. Los valores propios de una matriz de $n \times n$ resultan (como probablemente aprendas pronto) ser las raíces de un polinomio de grado $n$. Dado que todos los polinomios de grado $n$ tienen $n$ raíces (contadas con multiplicidad, y permitiendo raíces complejas además de las reales), esto significa que cada matriz de $n \times n$ tiene $n$ valores propios (contados con multiplicidades algebraicas).

Por cierto, parece que has hecho exactamente lo correcto para determinar cuántos autovectores hay que corresponden a un valor propio dado; en general, no hay una manera obvia y simple de hacerlo excepto buscar el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones asociado, como hiciste.

Answer 2

CONSEJO

Recuerda cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonalizable y nota que aquí tenemos un valor propio $2$ con multiplicidad aritmética $2$ y multiplicidad geométrica $1$, es decir, un espacio propio con dimensión $1$.

Answer 3

1. No. $A - 2I$ tiene solo una columna linealmente independiente. (La segunda columna de $A-2I$ es cero.)
2. Para dar un ejemplo rápido, consideremos la matriz de rotación 2D. $$\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}$$ El espacio propio para una transformación lineal es un ejemplo de subespacio invariante. Dado que no hay un subespacio invariante adecuado en la rotación 2D, la matriz de rotación no tiene eigenvalores reales.

Answer 4

La multiplicidad geométrica de un eigenvalor (es decir, el número de eigenvectores independientes correspondientes a ese eigenvalor), es la dimensión del espacio nulo de la matriz menos la matriz identidad multiplicada por ese eigenvalor (es decir, tomas la matriz y restas el eigenvalor de cada entrada en la diagonal principal). La dimensión del espacio nulo de una $n \times n$ matriz es $n$ menos el rango de la matriz. Entonces, si $n=2$, para tener una multiplicidad geométrica de 2, el rango debe ser cero. Pero una matriz de rango cero es simplemente la matriz cero. Así que una vez que restas 2 de la diagonal principal y ves que no obtienes la matriz cero, sabes que solo hay un eigenvector linealmente independiente para ese eigenvalor.