Suma de idénticamente distribuidos pero no independiente Bernoulli ' s es no uniforme

Question

Deje $X_1,X_2,\dots$ denotar una secuencia de idénticamente distribuidas, intercambiables, pero no independiente, de Bernoulli$(p)$ variables aleatorias. Si no existe $n>0$ tales que

$$ \sum_{i=1}^{n}X_i $$

no está uniformemente distribuida en $\{0,1,\dots,n\}$, ¿cómo podemos demostrar que esto implica

$$ \sum_{i=1}^{n}X_i + X_{n+1} $$

no está uniformemente distribuida en $\{0,1,\dots,n+1\}$? Si $p \ne 1/2$ la demanda de la siguiente manera por las expectativas, por lo que podemos considerar $p=1/2$.

Answer 1

En primer lugar, algunas notaciones: para cada $n$, vamos a $X_{1:n}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$, y, para cada palabra $w=(w_1,w_2,\ldots,w_n)$ en $\{0,1\}^n$, vamos a $|w|=w_1+w_2+\cdots+w_n$. Ahora, a la prueba, que utiliza fundamentalmente la intercambiabilidad hipótesis.

Supongamos que, para algunos, $n\geqslant1$, $|X_{1:n+1}|$ es distribuido uniformemente en $\{0,1,\ldots,n+1\}$.

Luego, por la intercambiabilidad, por cada palabra $w$ en $\{0,1\}^{n+1}$, $P(X_{1:n+1}=w)$ sólo depende de $|w|$. Para cada una de las $k$ en $\{0,1,\ldots,n+1\}$hay ${n+1\choose k}$ palabras $w$ en $\{0,1\}^{n+1}$ tal que $|w|=k$, por lo tanto, por cada palabra $w$ en $\{0,1\}^{n+1}$ tal que $|w|=k$, $$P(X_{1:n+1}=w)={n+1\choose k}^{-1}P(|X_{1:n+1}|=k)=(n+2)^{-1}{n+1\choose k}^{-1}$$ Para cada palabra $v$ en $\{0,1\}^n$, en el caso de $[X_{1:n}=v]$ es distinto de la unión de los eventos a$[X_{1:n}=v,X_{n+1}=0]$ e $[X_{1:n}=v,X_{n+1}=1]$. Si $|v|=k$ para algunos $k$ en $\{0,1,\ldots,n\}$, a continuación, $|v0|=k$ e $|v1|=k+1$, por lo tanto $$P(X_{1:n}=v)=(n+2)^{-1}{n+1\choose k}^{-1}+(n+2)^{-1}{n+1\choose k+1}^{-1}$$ Ahora, sucede que $$(n+2)^{-1}{n+1\choose k}^{-1}+(n+2)^{-1}{n+1\choose k+1}^{-1}=(n+1)^{-1}{n\choose k}^{-1}\tag{$\ast$}$$ hence $$P(X_{1:n}=v)=(n+1)^{-1}{n\choose k}^{-1}$$ Summing these over the ${n\elegir k}$ words $v$ in $\{0,1\}^n$ such that $|v|=k$, one gets, for every $k$ in $\{0,1,\ldots,n\}$, $$P(|X_{1:n}|=k)=(n+1)^{-1}$$ Por lo tanto, si $|X_{1:n+1}|=X_1+X_2+\cdots+X_{n+1}$ es distribuido uniformemente en $\{0,1,\ldots,n+1\}$, a continuación, $|X_{1:n}|=X_1+X_2+\cdots+X_n$ es distribuido uniformemente en $\{0,1,\ldots,n\}$.

Por contraposición, esto demuestra el deseado estado de cuenta, y también que, tan pronto como $|X_{1:n}|=X_1+X_2+\cdots+X_{n}$ es distribuido uniformemente en $\{0,1,\ldots,n\}$ para algunos $n\geqslant1$, a continuación, $|X_{1:1}|=X_1$ es distribuido uniformemente en $\{0,1\}$, y, de nuevo por la intercambiabilidad, cada $X_n$ es distribuido uniformemente en $\{0,1\}$, que es, necesariamente, $p=\frac12$.

Ejercicio: Probar $(\ast)$.

Answer 2

Aquí es una gran sugerencia/esquema.

Un buen método es demostrar el contrapositivo. Dejando $S_{n}=\sum_{i=1}^n X_i$, suponga que $S_{n+1}$ es distribuido uniformemente sobre $\{0,1,\dots,n+1\}$, y demostrar que las $S_n$ es uniforme.

Para probar esto, el uso de la descomposición $$ P(S_n=k) = P(S_n=k\cap X_{n+1}=0)+P(S_n=k\cap X_{n+1}=1)\etiqueta{*} $$ Necesitamos de alguna manera se relacionan los eventos en la RHS a los eventos de la forma $\{S_{n+1}=h\}$, cuyas probabilidades son conocidos por ser $\frac1{n+2}$.

Si consideramos que nuestro espacio muestral para el conjunto de secuencias de $n+1$ ceros y unos, a continuación, $\{S_n=k\}\cap \{X_{n+1}=0\}$ se compone de todos los $\binom{n}k$ secuencias que terminan en un $0$ y que consta de $k$ . Por la intercambiabilidad, estos eventos son igualmente probables. En particular, dejando $E$ ser el caso de que $X_i=1$ para $i=1,2,\dots,k$ e $X_i=0$ para $i=k+1,k+2,\dots,n+1$ (la cadena de $11\dots100\dots0$), luego $$ P(S_n=k\cap X_{n+1}=0) = \binom{n}k\cdot P(E) $$ Por otro lado, $E$ es un subconjunto del evento $\{S_{n+1}=k\}$, que se compone de $\binom{n+1}{k}$ igualmente probable secuencias, por lo que también tiene $$ \frac1{n+2}=P(S_{n+1}=k)=\binom{n+1}k\cdot P(E) $$ Las dos últimas ecuaciones permiten eliminar los $P(S_n=k\cap X_{n+1}=0)$ en $(*)$. Usted puede hacer algo similar para eliminar $P(S_n=k\cap X_{n+1}=1)$.