Analogía entre los números p-adic y complejo

Question

Deje $p$ ser primer. La secuencia

$$P_k = 1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^k$$

va a $\infty$ para $k\rightarrow\infty$ en la norma Euclídea, pero en la p-ádico norma va a $\frac{1}{1-p}$. Lo hace de modo enigmático pasando por el "punto en el infinito" que viene de los números positivos y regresar a $\frac{1}{1-p}$ a través de los números negativos, que pueden recordar a uno de alguna manera de la real proyectiva línea:

_{[Tenga en cuenta que el mayor $p$ más cerca de la $\frac{1}{1-p}$ a $0$ en la norma Euclídea, pero para un finito $p$ el número de $0$ no se alcanzó de nuevo].}

Para el $p$th raíz de la unidad $\omega = e^{i2\pi/p}$ tenemos $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{p-1} = 0$, así que uno podría estar inclinado a decir que la secuencia

$$\Omega_k = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{k}$$

se acerca a un ciclo límite para $k\rightarrow\infty$, pasando a través de $0$ nuevo y de nuevo (el más pequeño $p$ más a menudo). Así que con la lengua en la mejilla, uno podría decir, que $\Omega_k$ va a la $0$ para $k\rightarrow\infty$ en la norma Euclídea.

Que conexión más profunda entre la p-ádico y números complejos no revela esto (si alguna)?

_{[Nota, que la cercanía de $\frac{1}{1-p}$ a $0$ corresponde a la frecuencia con que $0$ aprueba $\Omega_k$ — con $\Omega_k$ dependiendo $p$ través $\omega = e^{i2\pi/p}$.]}

_{[Nota además, de que la p-ádico números de $\mathbb{Q}_p$ son una extensión de $\mathbb{Q}$ (próximo a $\mathbb{R}$), mientras que los números complejos $\mathbb{C}$ son una extensión de $\mathbb{R}$ (y por tanto de $\mathbb{Q}$).]
[Nota además, de que $\{\Omega_k\} \cap \mathbb{Q}_p = \{\Omega_k\} \cap \mathbb{Q} = \{0,1\}$ para $p >2$. ¿O es que esta declaración no tiene sentido?]}

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Sólo ahora he aprendido, que Alexander Bogomolny, creador y mantenedor de la maravillosa sitio web de cortar el nudo, ha fallecido el 7 de julio. Estoy muy triste por que, me hizo admirar y aprender mucho de él.

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Answer 1

<blockquote> <p>Lo hace por enigmáticamente pasando por el "punto en el infinito" desde los números positivos y volver a <span class="math-container">$\frac{1}{1-p}$</span> a través de los números negativos</p> </blockquote> <p>Esto es una tontería. En el <span class="math-container">$p$</span>-números adic allí no es ninguna "orden" y no "números positivos" y no "números negativos".</p>

Answer 2

Estoy muy de acuerdo con la cuestión planteada en la otra respuesta.

La no tan profunda conexión aquí es que tenemos dos estructuras algebraicas que 1) son anillos 2) contienen un elemento $x$ tales $1-x$ es invertible, y los poderes de $x$ exposición de forma fácil de comprender la estructura. Elaborar,

1) En cualquier anillo para cualquier $x$, tenemos $(1-x)\cdot (1+x+x^2+...+x^{k}) = 1-x^{k+1}$.

2) Que, si se puede dividir por $1-x$, significa que el importe de la forma general

$$X_k = \dfrac{1-x^{k+1}}{1-x} $$

Ahora, en un caso, ($x=p$), tenemos un extra de estructura en nuestra anillo w.r.t. que $p^n \to 0$, así que por supuesto $X_k$ va a $$\dfrac{1-0}{1-x} = \dfrac{1}{1-x}.$$ In the other case $x=\omega$, periodically $x^n=1$, so with the same period, $X_k$ will be $$\dfrac{1-1}{1-x} = 0.$$

Del mismo modo que se puede construir más ejemplos:

• En el ring $\Bbb F_{17} [Z, Y]$ (polinomios en dos variables sobre el campo con 17 elementos), existe una primitiva $16$-ésima raíz de la unidad, llame a $\zeta$. Utilizando como $x$, obtenemos que $$Z_k = 1+\zeta +... + \zeta^k$$ "cycles through 0 periodically". If we now extend the base field to $\Bbb F_{17^2}, \F_ Bbb{17^3}$, and take a $288$-th, ($17^3-1$)-th ... root of unity as $\zeta$, esto cambia la frecuencia del ciclo.

• En el campo de $\Bbb R ((t))$ (Laurent serie de más de $\Bbb R$), existe un natural métrica w.r.t. que $t^n \to 0$. Así que para $$T_k = 1 +t+...+t^k,$$ we have that $T_k$ goes to $\dfrac{1}{1-t}$. Would you say "this enigmatically goes through infinity and comes back from the left hand side"? If we now went to an algebraic closure of this and replaced $t$ by $t^{1/2}, t^{1/3}$, usted diría que "se acerca a 0 de nuevo"?

Diría usted que esto muestra una conexión más profunda entre estos dos anillos acabo de hacer? Diría usted que los poderes de la $17$ en la primera y las raíces de $t$ en el segundo podría tener una conexión profunda? (Lo siento por las burlas.)

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Nota 1: no la "frecuencia = cercanía" correspondencia ir exactamente en el camino equivocado? Es decir, para (Euclideanly) $p$, $1/(1-p)$ viene más cerca a $0$, mientras que el $\Omega_k$ aciertos $0$ con menos frecuencia.

Nota 2: Al final de la pequeña observación: Si define sus raíces de la unidad, como los números complejos, $\omega = e^{2\pi i /p}$, entonces por supuesto que no están contenidos en $\Bbb Q_p$ cualquier $p \ge 3$. Sin embargo, el campo de $\Bbb Q_p$ , en general, no contienen no trivial raíces de la unidad, es decir, exactamente el $(p-1)$-th. Con aquellos que juegan el papel de su $\omega$ o mi $\zeta$ por encima, se obtiene exactamente el mismo tipo de comportamiento. Mi punto es, que debido a que son las raíces de la unidad, y que por sí sola no decir algo profundo acerca de los campos, o vamos a decir: no hay Nada más profundo que el que estos campos contienen más raíces de la unidad.