¿Reflexión a través de una línea?

Question

Es la matriz de transformación lineal para una reflexión a través de la línea $y = mx$:

$$\frac{1}{1 + m^2}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{pmatrix} $$

Mi profesor nos dio la fórmula arriba sin explicación de por qué funciona. Soy completamente nuevo en álgebra lineal, así que no tengo absolutamente ni idea de cómo derivar la fórmula. ¿Podría alguien explicarme cómo la fórmula es deriva? Gracias

Answer 1

Usted puede tener (mucho) más elegante derivaciones de la matriz cuando tenga algo de teoría disponible. El low-tech forma, el uso de un poco más de la multiplicación de la matriz sería:

La línea de $y = mx$ es parametrizada por $t \cdot \begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$. La línea ortogonal es parametrizada por $r \cdot \begin{pmatrix}-m\\1\end{pmatrix}$. La línea de $y = mx$ deberá ser fijo, la línea ortogonal deberá ser reflejada, por lo que desea un matriz $R$ con

$$R \begin{pmatrix}1 & -m\\ m & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & m\\ m & -1\end{pmatrix},$$

y eso significa que

$$\begin{align} R &= \begin{pmatrix}1 & m\\m&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-m\\m&1\end{pmatrix}^{-1}\\ y = \begin{pmatrix}1&m\\m&-1\end{pmatrix}\cdot \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1&m\\-m&1\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix}1 - m^2 & 2m\\2m &m^2-1\end{pmatrix}. \end{align}$$

Answer 2

Vectores en la línea de obedecer la ecuación

$$y - mx = 0$$

Deje $e_x, e_y$ ser Cartesiano base de vectores asociados con la $x, y$ coordenadas, respectivamente. La ecuación anterior implica que cualquier vector $r = x e_x + y e_y$ que se encuentra en la recta debe satisfacer

$$r \cdot n = 0, \quad n = -m e_x + e_y$$

El vector $n$ es el normal del vector de la línea, perpendicular a la línea. Los asociados de la unidad normal es $\hat n = n/\sqrt{1+m^2}$.

Cualquier vector $a$ se puede descomponer en una componente paralela a la línea y un componente que es perpendicular. Esto está escrito $a = a_\parallel + a_\perp$. Cuando el vector se refleja en un mapa de reflexión $\underline N$, la componente perpendicular cambia de signo; el paralelo componente no. Es decir,

$$\underline N(a) = a_\parallel - a_\perp = a - 2 a_\perp$$

La componente perpendicular $a_\perp$ está dado por

$$a_\perp = (a \cdot \hat n) \hat n$$

donde $a = a^x e_x + a^y e_y$. Usted debe ser capaz de reconocer que este es simplemente un mapa de proyección sobre el vector $\hat n$.

Por lo tanto, el mapa de reflexión se da como

$$\underline N(a) = \underline I(a) - 2(a \cdot \hat n) \hat n$$

donde $\underline I$ es el mapa de identidad.

A partir de aquí, solo hay que evaluarla en términos de los vectores de la base para encontrar las componentes de la matriz.

$$\underline N(e_x) = e_x - 2 (e_x \cdot \hat n) \hat n = e_x - \frac{2(-m)(-m e_x + e_y)}{1 + m^2} = \frac{(1-m^2)e_x + 2m e_y}{1+m^2}$$

y

$$\underline N(e_y) = e_y - 2 (e_y \cdot \hat n) \hat n = e_y - \frac{2(1)(-me_x + e_y)}{1+m^2} = \frac{2m e_x + (m^2 - 1)e_y}{1+m^2}$$

Ambos de estos son las columnas de la matriz asociada a la representación.