Varias respuestas en la evaluación de un integral definida.

Question

Considere la posibilidad de este de la integral definida $$I=\int_0^{2\pi}\dfrac{x\cos x}{1 +\cos x}dx$$

Método 1

$$I=\int_0^{2\pi}\dfrac{x\cos x}{1 +\cos x}dx.....(1)$$

$$I=\int_0^{2\pi}\dfrac{(2\pi-x)\cos (2\pi-x)}{1 +\cos (2\pi-x)}dx.....(2)$$

Sumando (1) y (2)

$$2I=\int_0^{2\pi}\dfrac{2\pi \cos x}{1 +\cos x}dx$$

$$I=\pi \int_0^{2\pi}\dfrac{\cos x}{1 +\cos x}dx$$

$$I=2\pi \int_0^{\pi}\dfrac{\cos x}{1 +\cos x}dx.....(P1)$$

$$I=2\pi\int_0^{\pi}\dfrac{1+\cos x-1}{1 +\cos x}dx$$

$$I=2\pi \int_0^{\pi}1-\dfrac{1}{1 +\cos x}dx$$

$$I=2\pi \int_0^{\pi}1dx-2\pi \int_0^{\pi}\dfrac{1}{1 +\cos x}dx$$

$$I=2\pi[x]_0^\pi -2\pi \int_0^{\pi}\dfrac{1}{2\cos ²\dfrac{x}{2}}dx$$

$$I=2\pi ² - \pi \int_0^{\pi} \sec ²\dfrac{x}{2}\ dx$$

$$\displaystyle I=2\pi ² - 2\pi \left[ tan \dfrac{x}{2}\right]_0^{\pi} $$

$$\displaystyle I=2\pi ² - 2\pi \left[ \infty - 0 \right] $$

$$I=-\infty$$

Método 2

$$I=\int_0^{2\pi}\dfrac{x\cos x}{1 +\cos x}dx.....(1)$$

$$I=\int_0^{2\pi}\dfrac{(2\pi-x)\cos (2\pi-x)}{1 +\cos (2\pi-x)}dx.....(2)$$

Sumando (1) y (2)

$$2I=\int_0^{2\pi}\dfrac{2\pi \cos x}{1 +\cos x}dx$$

$$I=\pi \int_0^{2\pi}\dfrac{\cos x}{1 +\cos x}dx$$

$$I=\pi\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos x-1}{1 +\cos x}dx$$

$$I=\pi \int_0^{2\pi}1-\dfrac{1}{1 +\cos x}dx$$

$$I=\pi \int_0^{2\pi}1dx-\pi \int_0^{2\pi}\dfrac{1}{1 +\cos x}dx$$

$$I=\pi[x]_0^{2\pi} -\pi \int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2\cos ²\dfrac{x}{2}}dx$$

$$I=2\pi ² - \dfrac{\pi}{2} \int_0^{2\pi} \sec ²\dfrac{x}{2}\ dx$$

$$\displaystyle I=2\pi ² - \pi \left[ tan \dfrac{x}{2}\right]_0^{2\pi} $$

$$\displaystyle I=2\pi ² - \pi \left[ 0-0\right] $$

$$I=2\pi ²$$

---

$$(P1)-->\ \int_0^{2a} f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$if $f(2a-x)=f(x)$

He comprobado estos métodos en varias ocasiones, pero no puede encontrar ningún error. Método 1 parece estar mal, como de la respuesta, se $2\pi ²$. Lo que podría ser el error?

Answer 1

En realidad, el primer método es correcto y el segundo método es malo. Para ver lo que está sucediendo aquí, aviso que el integrando es casi proporcional a $\frac{1}{(x-\pi)^2}$, precisamente en el siguiente sentido:

$$ \lim_{x \to \pi} (x-\pi)^2 \frac{x \cos x}{1+\cos x} = -2\pi. $$

Así que el integrando se bifurca a $-\infty$ como $x\to\pi$.

$\hspace{8.5em}$

Tan lejos como inapropiado integrabilidad es de que se trate, teniendo discontinuidad puntos en los que $|f(x)|$ diverge a $\infty$ no es necesariamente una amenaza para la convergencia de la integral impropia $\int f(x) \, dx$. En su caso, sin embargo, sabemos que$\int_{\pi-\delta}^{\pi+\delta} \frac{1}{(x-\pi)^2} \, dx = \infty$ cualquier $\delta > 0$, por lo tanto la integral en cuestión no converge por la prueba de comparación.

A ver lo que está mal en su segundo enfoque, tenga en cuenta que $u = \tan(x/2)$ ha discontinuidad en $x = \pi$, por lo tanto no puede ser utilizado como válida la sustitución en el intervalo de $[0, 2\pi]$. (Por supuesto, puede ser usado como un sustituto en el intervalo de $[0,\pi)$, que es la razón por la que su primera aproximación es válida.)

$\hspace{8.5em}$