¿Por qué dos estados cuánticos diferentes no pueden evolucionar hacia el mismo estado final?

Question

¿Es cierto que dos estados diferentes no pueden evolucionar hacia el mismo estado final? ¿Pueden alcanzar este estado en momentos diferentes? En caso afirmativo, ¿cuál es la prueba?

Answer 1

¿Es cierto que dos estados diferentes no pueden evolucionar hacia el mismo estado final?

Eso depende de lo que se quiera decir exactamente. Si consideramos el estado total de un sistema cerrado, entonces dos estados diferentes nunca evolucionarán simultáneamente al mismo estado en un momento posterior. Es posible que haya aprendido que los estados cuánticos evolucionan con una transformación unitaria, es decir $$ \lvert \Psi(t) \rangle = U(t) \lvert \Psi(0) \rangle$$ donde $U(t)$ es unitaria, lo que significa que $U(t)^\dagger = U(t)^{-1}$ . Siendo este el caso, \begin{align} \langle \Phi(t)|\Psi(t) \rangle &= \langle U(t) \Phi(0) | U(t) \Psi(0) \rangle \\ \text{(definition of Heritian conjugate)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^\dagger U(t) | \Psi (0) \rangle \\ \text{(unitarity)} \quad &= \langle \Phi(0) | U(t)^{-1} U(t) | \Psi (0) \rangle \\ &= \langle \Phi(0) | \Psi (0) \rangle \, . \end{align} Como ves, el producto interior entre dos estados no cambia con la evolución del tiempo. Dos estados que son iguales tienen un producto interno de 1, pero los estados que no son iguales tienen un producto interno no 1. Por lo tanto, dos estados que no son inicialmente iguales no pueden llegar a serlo después bajo la evolución unitaria.

Por otro lado, si permitimos la medición, es posible que dos estados inicialmente diferentes acaben siendo el mismo. Por ejemplo, si tenemos un sistema de dos niveles que comienza en el estado $(\lvert 0 \rangle + e^{i \phi} \lvert 1 \rangle)/\sqrt 2$ para cualquier valor de $\phi$ podría colapsar a $\lvert 0 \rangle$ después de una medición. Sin embargo, hay que tener en cuenta que en este caso hay aleatoriedad, es decir, no podemos hacer una situación en la que dos estados inicialmente diferentes evolucionen de forma determinista hacia el mismo estado final. Si se podría hacer eso, estoy bastante seguro de que podrías controlar el futuro, comunicarte más rápido que la luz y destruir todo el universo.

¿Pueden alcanzar este estado en diferentes momentos?

Sí, claro. Consideremos un sistema de dos niveles con el Hamiltoniano $$ H = \hbar \frac{\omega}{2} \sigma_x \, .$$ El propagador de este sistema es $$U(t) = \cos(\omega t / 2) \mathbb{I} - i \sin(\omega t / 2) \sigma_x = \left( \begin{array}{cc} \cos(\omega t / 2) && -i \sin(\omega t / 2) \\ -i \sin(\omega t / 2) && \cos(\omega t / 2) \end{array} \right)$$ donde $\mathbb{I}$ significa la identidad. Si empezamos con el estado $\lvert 0 \rangle$ entonces el estado en el momento $t$ es $$ U(t) \lvert 0 \rangle = \cos(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle - i \sin(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle $$ Del mismo modo, si hubiéramos empezado con $i \lvert 1 \rangle$ , obtendríamos $$U(t) i \lvert 1 \rangle = \sin(\omega t / 2) \lvert 0 \rangle + i \cos(\omega t / 2) \lvert 1 \rangle \, . $$ Ahora mira dos momentos particulares: $$U(t = \pi / 2 \omega) \lvert 0 \rangle = \cos(\pi / 4) \lvert 0 \rangle - i \sin(\pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle)$$ y $$U(t = 3 \pi / 2 \omega) i \lvert 1 \rangle = \sin(3\pi/4)\lvert 0 \rangle + i \cos(3 \pi / 4) \lvert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(\lvert 0 \rangle - i \lvert 1 \rangle) \, .$$ Así podemos ver que dos estados inicialmente diferentes evolucionan al mismo estado, pero en momentos diferentes.

Answer 2

Dejemos que $\Psi$ y $\Phi$ sean dos estados que evolucionan hacia el mismo estado después de algún tiempo $t$ . Evolución del tiempo después del tiempo $t$ está dada por un operador unitario $U(t)$ . En particular, esto significa que $U(t)$ es invertible, por lo que tenemos $U(t)^{-1}U(t) = 1$ . Ahora tenemos por supuesto que $U(t)\Psi = U(t)\Phi$ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $U(t)^{-1}$ desde la izquierda obtenemos $\Psi = \Phi$ . Así que si dos estados evolucionan hacia el mismo estado después de algún tiempo $t$ Para empezar, eran lo mismo.

La evolución del tiempo tiene además la propiedad de que $U(t)U(s) = U(t+s)$ . Sea $t\neq 0$ . Ahora supongamos que tenemos algún estado $\Phi$ con la propiedad de que $U(s)\Phi \neq \Phi$ . Establecer $\Psi = U(s)\Phi$ . Entonces obtenemos \begin{equation} U(t)\Psi = U(t)(U(s)\Phi) = U(t+s)\Phi. \end{equation} Tenemos entonces que los estados $\Psi$ y $\Phi$ (que son diferentes), evolucionan hacia el mismo estado $U(t+s)\Phi$ pero después de diferentes tiempos.

De hecho, este es el sólo forma en que esto puede suceder. Es decir, si hay dos estados diferentes $\Phi \neq \Psi$ tal que $U(t)\Phi = U(t')\Psi$ entonces existe un tiempo $s$ tal que $\Psi = U(s) \Phi$ . Quizás encontrar una prueba para esta afirmación sea un buen ejercicio.

Answer 3

Excluyendo el colapso de la función de onda, las funciones de onda evolucionan de forma determinista, y este determinismo va en ambas direcciones en el tiempo. Así que si se toma $\Psi$ y $\Phi$ de tal manera que haya algún $t_0$ para lo cual $\Psi(t_0)=\Phi(t_0)$ entonces, mientras evolucionen bajo la misma transformación, tienes $\Psi(t)=\Phi(t)$ para todos $t$ . Por lo tanto, no se puede tener ni dos funciones de onda que son iguales en un momento dado evolucionan a funciones de onda diferentes en un momento distinto, ni dos funciones de onda que son diferentes en un momento dado evolucionan a la misma función de onda en otro momento.

Un estado puede evolucionar hacia lo que fue otro estado en otro momento, es decir $\Psi(t_1)=\Phi(t_2)$ . Pero si evolucionan bajo una transformación de tiempo constante, entonces si definimos $\Delta t= t_2-t_1$ entonces $\Psi(t)=\Phi(t+\Delta t)$ para todos $t$ los dos estados son simplemente una versión desplazada en el tiempo del otro.

Answer 4

$\def\ket#1{|#1\rangle}$ Más simplemente. En cuanto a la primera pregunta: dejemos $\ket{a,0}$ sea un vector de estado tomado en el momento 0, $\ket{a,t}$ el mismo estado evolucionado en el tiempo $t$ .

Nota 1: Se utiliza la imagen de Schrödinger, donde los estados evolucionan en el tiempo, los observables no.

Nota 2: Estoy utilizando una notación ket bastante diferente. No escribo cosas como $\ket{\Psi(t)}$ porque creo que es una mala interpretación de la notación de Dirac.

Tenemos $$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{a,0}$$ donde $U(t)$ es unitaria. Supongamos ahora que otro $\ket{b,0}$ existe, tal que también $$\ket{a,t} = U(t)\,\ket{b,0}.$$ Entonces $$\ket{b,0} = U^{-1}(t)\,\ket{a,t} = U^{-1}(t)\,U(t)\,\ket{a,0} = \ket{a,0}.$$

Ahora, la segunda pregunta. Usted está preguntando si $$\ket{a,t} = \ket{b,t'} \tag1$$ podría ocurrir, por $t'\ne t$ . Expandamos la ec. (1), utilizando $U$ : $$U(t)\,\ket{a,0} = U(t')\,\ket{b,0}$$ $$\ket{b,0} = U^{-1}(t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(-t')\,U(t)\,\ket{a,0} = U(t-t')\,\ket{a,0}.$$ Esta es la condición $\ket{a,0}$ y $\ket{b,0}$ deben obedecer, para que $\ket{a,t}$ y $\ket{b,t'}$ sean iguales.