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Sí, esa es la manera correcta, de hecho
$$-\frac2x\le \frac{\sin{x}+\cos{x}}{x}\le \frac2x \iff 0\le \left|\frac{\sin{x}+\cos{x}}{x}\right|\le\left|\frac 2{x}\right| \to 0$$
y llegamos a la conclusión por el teorema del sándwich.
El punto clave aquí es que desde $\sin{x}+\cos{x}$ está delimitada por lo tanto, de acuerdo a la definición de límite, para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar $\bar x$ tal que para todos los $x\ge \bar x$ tenemos $\left|\frac{\sin{x}+\cos{x}}{x}\right|<\epsilon$ y, a continuación,
$$\lim_{x \to \infty} \Bigg(\frac{\sin{x}+\cos{x}}{x}\Bigg)=0$$
Usted está utilizando el teorema del sándwich. Es una de las pocas herramientas de límites que no requieren continuidad y da la existencia del límite de forma gratuita.
Usando tu ejemplo, el argumento (el uso de la aún más perezoso $|\sin x + \cos x| \leq 2$) es
- Desde $\sin x + \cos x \leq 2$ todas partes, $\frac{\sin x + \cos x}{x} \leq \frac{2}{x}$ todas partes, por lo que, si existe, sea cual sea el límite es $x \rightarrow \infty$, es menor o igual que el límite mismo de $2/x$.
- Desde $ -2 \leq \sin x + \cos x$ todas partes, $\frac{-2}{x} \leq \frac{\sin x + \cos x}{x}$, por lo que, si existe, sea cual sea el límite es $x \rightarrow \infty$, es mayor o igual que el límite mismo de $-2/x$.
- $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{x} = 0$ e $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-2}{x} = 0$, ambos de los cuales parece ser capaz de justificar. Así $$ 0 \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x + \cos x}{x} \leq 0 \text{,} $$ forcing $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x + \cos x}{x} = 0$.
El último paso es donde viene el nombre. Las dos funciones obligado el límite arriba y abajo, apretando juntos para dar el límite de la complicada función de a dónde ir, excepto a las tres funciones comunes de límite.
Y lo que no está permitido en él?
Usted está dando un inferior-límite y un-límite superior para su función. Puesto que usted está buscando el límite en $x\to +\infty$, usted puede especificar que la desigualdad se cumple para $x>0$ (la función no está definida en $0$, y la desigualdad debe ser revertido por la negativa $x$). Así que todo lo que necesitas es añadir: vamos a $x>0$.
Entonces a partir de la $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$, de acuerdo con el teorema del encaje, se obtiene el resultado deseado.
Sí, eso es simplemente la Squeze Teorema, que los estados si $g(x)<f(x)<h(x)$ como $x$ enfoques $a$ e $g(x) = h(x) = L$, entonces: $$\lim_{x\to a} f(x) = L$$
$$-1\leq\sin x\leq 1$$ $$-1\leq\cos x\leq 1$$ $$\implies -2\leq\sin x+\cos x\leq 2$$ $$\implies -\frac{2}{x}\leq \frac{\sin x+\cos x}{x}\leq \frac{2}{x}$$ $$\implies \lim_{x\to \infty}-\frac{2}{x}\leq \lim_{x\to \infty}\frac{\sin x+\cos x}{x}\leq \lim_{x\to \infty}\frac{2}{x}$$ $$\implies 0\leq\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x+\cos x}{x}\leq 0$$
Por lo tanto, el límite de la función es $0$. $$\lim_{x\to \infty}\Bigg(\frac{\sin x+\cos x}{x}\Bigg) = 0$$
Las funciones de $\mathrm{sin} x$$\mathrm{cos} x$, siendo complementarias a cada uno de los otros, los exactos límites serían:
$$-\sqrt2 \le \mathrm{sin}x + \mathrm{cos} x \le \sqrt2$$
$$-\frac{\sqrt2}{x} \le \frac{\mathrm{sin} x + \mathrm{cos} x}{x} \le \frac{\sqrt2}{x}$$
Usted puede utilizar trigonométricas simplificación para encontrar los límites.
Sugerencia:
$$-\sqrt2 \le \sqrt2\mathrm{sin}\left(x +\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt2$$
Y el resto lo sepa. De todos modos, usted no tiene que saber la causa exacta de los límites, el hecho de saber que el numerador es finito debe ser suficiente para que el límite de $0$. Sólo mantener esta cosa en la parte posterior de su mente que ambos son gratuitos, podría ser útil cuando se requieren exacta de los límites.
Considerar esta solución de un resultado de un trigonométricas simplificación y como otros han mencionado, usted puede utilizar el teorema del sándwich también, como la que ya tiene.
