¿Cómo resolver estas ecuaciones$3$ para tres incógnitas$x$,$y$,$z$?

Question

Pregunta:

Resolver:

$xy+x+y=23\tag{1}$

$yz+y+z=31\tag{2}$

$zx+z+x=47\tag{3}$

Mi intento:

Sumando todos tenemos

$$\sum xy +2\sum x =101$$

Multiplicando $(1)$ por $z$, $(2)$ por $x$, e $(3)$ por $y$ y sumando en total da

$$3xyz+ 2\sum xy =31x+47y+23z$$

Luego, a partir de dos ecuaciones de arriba después de la eliminación de $\sum xy$ plazo obtenemos

$$35x+51y+27z=202+3xyz$$

Después de que restando $(1)\times 3z$ a partir de la ecuación justo por encima (para eliminar la $3xyz$ plazo) da

$$35x +51y-3z(14+x+y)=202\implies (x+y)[35-3z]+16y-42z=202$$

Traté de pares resta de $(1),(2)$ e $(3)$ pero también parece ser que no funciona.

Por favor darme alguna sugerencia para que yo pueda proceder o proporcionar la respuesta.

Answer 1

Sugerencia: poner $$X=x+1$ $ $$Y=y+1$ $ $$Z=z+1$ $

Entonces nosotros tenemos

$$XY=24$ $ $$YZ=32$ $ $$ZX=48$ $

¿Puedes tomarlo desde allí?

Answer 2

Podemos usar el truco de factoring favorito de Simon .

ps

Esto nos dice

$$xy+x+y+1=(x+1)(y+1)$$$(x+1)(y+1)=24$$$$(y+1)(z+1)=32$$$$(x+1)(z+1)=48$ x +1 = \ pm \ frac {\ sqrt {24 \ cdot32 \ cdot48}} { 32} \ a x = 5, -7 $ . Igualmente, puedes encontrar las otras variables.

Answer 3

Usted puede convertir la primera ecuación en una ecuación que exprese y en términos de x.

Usted puede convertir la tercera ecuación en una ecuación que expresa la z en términos de x.

Puede sustituir estas fórmulas para y y z en la segunda ecuación. Esto le da una ecuación única, en una sola variable (x).

La única ecuación puede ser simplificada, dejando que v = x + 1, y sustituyendo v-1 en x. Entonces se puede multiplicar por v2. Observe que usted está asumiendo que v ≠ 0. A continuación, puede resolver para v. Dado que este es un de segundo orden de la ecuación, se obtienen dos soluciones (que pueden ser iguales entre sí).

Ahora usted puede resolver para x. (V-1). Observe que usted está asumiendo que x ≠ -1.

Ahora usted puede resolver la primera ecuación para y, y la tercera ecuación de z.

Ahora lo que necesita para asegurarse de que usted no tiene una división por cero error. En otras palabras, comprobar qué valores se obtiene para y y z, si x es igual a -1. Desde estas son las asíntotas de las hipérbolas que se insinúa por la jefa de la artesanía de la respuesta, y, z llegar a ser de ±∞. Esto demuestra que estaba bien supongamos que x ≠ -1.

Ahora puede realizar su check-por-la sustitución, para comprobar que ambas soluciones son correctas.

Answer 4

insinuación

$(2)-(1)$ da

ps

$$(z-x)(y+1)=8=(z+1-(x+1))(y+1)$ se convierte

ps

$(3)-(2)$ cede a

ps

Desde aquí, ponemos$$(x-y)(z+1)=16=(x+1-(y+1))(z+1)$ $ asi

$(3)-(1)$ $$$(z-y)(x+1)=24=(z+1-(y+1))(x+1)$ $$$X=x+1,\;Y=y+1,\; Z=z+1$ $

Answer 5

Solo para dar una estrategia básica, considere que todas las ecuaciones también son superficies en $\Bbb R^3$ que es $ (x,y,z)$ . Lo que buscas son puntos donde las tres superficies se intersecan o coinciden.

Quizás pueda usar su imaginación para considerar cómo diversas geometrías pueden tener soluciones complejas, en lugar de metodologías ad hoc para casos especiales. Además, el cálculo a menudo puede ser útil.