Una prueba simple de la relación entre los valores propios de una matriz definida positiva y su descomposición de Cholesky

Question

Puede alguien me presenta un elegante primaria prueba de la relación entre los valores propios de una matriz positiva definida y su descomposición de Cholesky?

Más formalmente, supongamos $\mathbf{A}$ $n\times n$ positiva definida la matriz y deje $\mathbf{A} = \mathbf{R}^\top \mathbf{R}$ ser su descomposición de Cholesky. Establecer la relación entre los autovalores de a $\mathbf{A}$ e de $\mathbf{R}$.

EDITAR (observaciones Adicionales): Mi pregunta específicamente quiere encontrar, si es posible, y de la ecuación o función, decir $f$, que relaciona los valores propios, es decir, $f\left(\lambda_i(\mathbf{R})\right) = \lambda_i(\mathbf{A})$, con la singularidad hasta el fin de ser considerado si es necesario.

Answer 1

Para una matriz positiva definida $A$, $Q$ como vector propio de la matriz y $\Lambda$ como valor propio de la matriz, tenemos

$$ A = Q \Lambda Q^T $$

Esto puede escribirse como (ya que todos los autovalores de a $A$ son positivos) :

$$ A = (Q \sqrt{\Lambda}) (\sqrt{\Lambda} P^T) $$

Así que para $A = R^TR$, $R$ puede ser una matriz tal que,

$$ R = \sqrt{\Lambda} P^T $$

También podemos multiplicar cualquier ortogonal de la matriz $Q$ esta $R$ sin cambiar el original $A = R^TR$ condición, porque,

$$ A = (QR)^TQR = R^T(Q^TQ)R = R^TR $$

Así reescritura $R$$Q\sqrt{\Lambda} Q^T$, vemos que los autovalores de a $R$ son las raíces cuadradas de los valores propios de a $A$