¿Qué debería saber un entusiasta de la PDE/análisis?

Question

¿Cuáles son las cosas geniales que alguien a quien le gusta el PDE y el análisis funcional debería saber y aprender? ¿Cuáles crees que son los fundamentos y los siguientes pasos? Estaba pensando que sería bueno saber cómo mostrar la existencia o incluso saber por dónde empezar a mostrar la existencia de cualquier PDE no lineal que me encuentre.

Por ejemplo, hace poco descubrí cómo la gente puede usar el teorema inverso para probar la existencia de un PDE no lineal. Esto implicaba derivados de Frechet que nunca antes había visto. Y no aprecio del todo el vínculo entre el derivado normal, el derivado de Gateaux y el derivado de Frechet. Así que pensé en cuántas otras cosas no tengo ni idea en los PDE.

Y los DPE en la superficie son interesantes (pero estoy aprendiendo geometría diferencial, por lo que hay que esperar mucho tiempo hasta que lo vea en detalle), pero parece estudiado hasta la muerte.

De todos modos, ¿qué crees que es interesante en este campo? Estoy menos interesado en construir soluciones a los EDP y más en la existencia. PD: se puede asumir el conocimiento básico (Lax-Milgram, existencia y unicidad elíptica y parabólica lineal, etc.)

Answer 1

Creo que los espacios de Besov y su conexión con el análisis de ondas/multiresolución es una herramienta especialmente útil.

Si quieres hablar de los PDE en un contexto moderno, tienes que pensar cuidadosamente en los espacios de función en los que viven las soluciones. Mucha gente estudia los espacios funcionales lo suficiente como para salir adelante - mirando los espacios de Sobolev, tal vez los espacios de Hölder y detenerse allí - pero los espacios de Besov son más generales y muy útiles para estudiar los PDE en dominios no lisos o con coeficientes aproximados. Puedes plantear PDE en dominios que son fractales, o cosas así. Creo que dan una mejor imagen intuitiva de la suavidad de las funciones, incrustaciones, teoremas de trazas, etc. que los espacios de Sobolev solamente.

Una gran referencia es, Hans Triebel, "Teoría de los Espacios de Función II"

Answer 2

Tal vez debería estudiar algunos análisis más avanzados, ya que es entonces cuando aparecen los derivados de Frechet. Una buena referencia (y legalmente libre) es Análisis aplicado por John Hunter y Bruno Nachtergaele .

Después de eso, tal vez Análisis por Elliott H. Lieb y Michael Loss? Es más avanzado, así que asegúrate de entender a Hunter y Nachtergaele primero.

Para ecuaciones diferenciales parciales más intensas, los cursos del PDE de la división superior de UC Davis también están disponibles en línea (con tareas y soluciones) cuando Nordgren lo enseñó. Hay Matemáticas 118A: Ecuaciones diferenciales parciales y 118B .

Probablemente hay referencias más avanzadas (gratuitas) por ahí, pero estas son las que yo uso...

Adición: Para referencias sobre análisis específicamente funcionales, tal vez debería sentirse cómodo con el análisis de Eidelman et al. Análisis funcional. Una introducción (Estudios de posgrado en matemáticas 66 (American Mathematical Society, Providence, RI, 2004); he escuchado cosas buenas sobre el Análisis funcional aunque todavía no lo he leído...

Answer 3

Una buena idea en este sentido es la El enfoque del Punto Fijo de Leray-Schauder para los problemas de existencia de elipses no lineales .

A grandes rasgos, por ejemplo, si quisiera resolver el problema cuasilíneo

$a_{ij}(x,u,Du)D_{ij}u + b(x,u,Du) = 0$

$u = \varphi $ en $ \partial\Omega $ ,

digamos que puedo configurar un mapa que tenga una función $v$ y lo envía a la solución única $u$ de la lineal problema

$a_{ij}(x,v,Dv)D_{ij}u + b(x,v,Dv) = 0$

$u = \varphi $ en $ \partial\Omega $ .

Llama a este mapa $T$ . Obviamente necesito saber la existencia del problema lineal. Entonces, considerando esto como un mapa (no un mapa lineal) entre los espacios apropiados de Banach (para el cual necesito cierta regularidad para las soluciones del problema lineal) puedo ver que una solución al problema cuasilíneo es precisamente un punto fijo de $T$ .

Googleando el teorema del punto fijo de Leray-Schauder parece encontrar un buen conjunto de notas de Leon Simon sobre el tema. También el capítulo 11 de Gilbarg y Trudinger explica bien el método.

El método es llamado así por el teorema del punto fijo de Leray-Schauder - un teorema abstracto del punto fijo (es decir, se trata sólo de mapas entre espacios de Banach y no específicamente sobre PDE) que, bajo ciertas condiciones da un punto fijo de $T$ . La tarea de verificar las condiciones en las que el teorema es aplicable es la de ganar apriori estimaciones para las soluciones del problema cuasilíneo, por lo que este enfoque es una buena manera de ver la necesidad de la filosofía apriori en los problemas de existencia (elíptica, por lo menos).