¿Cuál es la diferencia entre $\operatorname{Arcsin}$ , $\operatorname{arcsin}$ , $\operatorname{Sin}^{-1}$ y $\sin^{-1}$ ?

Question

Este es un problema que tengo con los deberes. No recuerdo haber aprendido la diferencia, y la búsqueda no ha ayudado a explicar la diferencia entre las mayúsculas y minúsculas.

Answer 1

Podemos escribir simbólicamente:

• $\arcsin\ $ = $\sin^{-1}\, $
• Arco $\sin\ $ = Pecado $^{-1}\, $

porque

• $\arcsin\ $ y $\sin^{-1}\, $ son sólo dos notaciones diferentes para la misma función ,

• Arco $\sin\ $ y el Pecado $^{-1}\, $ son sólo dos notaciones diferentes para el mismo mapeo.

Definición : El Arcsine de $x$ , denotado como $\operatorname{Arcsin}(x)$ se define como "el conjunto de todos los ángulos cuyo seno es $x$ ". Puede interpretarse como una relación de uno a muchos.

Definición : El arcoseno de x, denotada como $\arcsin(x)$ se define como "el (único) ángulo desde el intervalo cerrado $[-\pi/2, +\pi/2]$ cuyo seno es $x$ ". Puede interpretarse como una relación de uno a uno.

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Así, por ejemplo

$$\arcsin\left(\frac1 2\right)= \sin^{-1}\left(\frac1 2\right) = \frac{\pi}{6} $$

mientras que

$$\operatorname{Arcsin}\left(\frac1 2\right)= \operatorname{Sin^{-1}}\left(\frac1 2\right) = \left.\left\{\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\ \right| \ k \in \mathbb Z\right\} $$

Ver también definiciones e ilustraciones de estas funciones / mapeos en El libro electrónico de ayuda al álgebra en MathOnWeb.com sitio.

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Editar:

Parece que las definiciones de los nombres en mayúsculas y minúsculas son intercambiado . Varias otras fuentes -véase la respuesta de jgon- las definen de manera opuesta.

Answer 2

Aunque estoy casi seguro de que las otras respuestas son correctas sobre $\arcsin$ que equivale a $\sin^{-1}$ La mayoría de las fuentes que puedo encontrar contradicen las respuestas dadas por MarianD y Polygon:

• El Foro de Matemáticas "Pregunta al Dr. Matemáticas": Inversos de funciones trigonométricas
• MathWords.com: Trigonometría inversa
• Dummies.com: Cómo distinguir entre funciones y relaciones de trigonometría
• MathWorld: Funciones trigonométricas inversas
• SparkNotes: Funciones trigonométricas inversas

Según estas fuentes $$\arcsin x =\sin^{-1}(x) = \{ \theta \in\Bbb{R} : \sin \theta = x\} ,$$ mientras que $$\operatorname{Arcsin} x =\operatorname{Sin}^{-1}(x)= \theta,$$ donde $\theta$ es el ángulo único entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ (inclusive) tal que $\sin\theta = x$ que suele llamarse valor principal.

Nota al margen

Me gustaría comentar que en la práctica, en la mayoría de los casos, las variantes en minúsculas se utilizan para denotar el valor principal, y las variantes en mayúsculas no se utilizan en absoluto. Sin embargo, cuando se utilizan, ésta parece ser la respuesta correcta en cuanto a su significado.

Answer 3

Sin $^{-1}$ (con S mayúscula) devuelve todos los valores que podrías poner en la función seno para obtener su entrada. Así que $\operatorname{Sin}^{-1}(\sqrt2/2) = \{\cdots\frac{-7\pi}4,\frac{-5\pi}4,\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{9\pi}4,\frac{11\pi}4\cdots\}$ .

Pero con una s minúscula, sólo devuelve valores entre $\frac{-\pi}2$ y $\frac\pi2$ .

Así que $\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2}}2)$ es sólo $\frac\pi4$ .

La notación con la S mayúscula se utiliza raramente porque no es una función; una entrada da infinitas salidas.

Answer 4

$\operatorname{Arcsin}$ se utiliza cuando se muestra $\sin^{-1}x$ como una relación mientras que $\arcsin$ se utiliza cuando se muestra $\sin^{-1}x$ como una función. Si se pone la función sin^-1(x) en Desmos o en una calculadora gráfica ajustada a radianes, puedes ver la gráfica de la función arcoseno (función inversa de $\sin x$ ). También verá que la línea se detiene abruptamente en $x=-1$ y $x=1$ y $y=-\pi/2$ y $y=\pi/2$ . Como no puede haber dos $y$ valores para cualquier $x$ el gráfico se detiene. Denominamos a este segmento "arcoseno". Pero si la gráfica continuara como una relación, se vería como una función seno que se extiende desde $y=-\infty$ a $y=\infty$ . Lo denominamos "Arcsine".

Espero que alguien encuentre esto útil.