Tengo la siguiente ecuación,
$3(x\times y\times z) = z^3$; donde x, y, z son enteros positivos
¿Cómo puedo encontrar las diferentes posibilidades de números que se adapten a esos tres valores indefinidos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La ecuación es equivalente a $3xy=z^2$. Si $z$ no es un múltiplo de a $3$, no hay solución.
Obtener la descomposición en factores primos de a $z$, y considerar cada primer factor por separado.
Deje $p$ ser uno de ellos, con multiplicidad $n$.
A continuación, las multiplicidades de la misma prime en $x$$y$, vamos a $n_x$ $n_y$ son tales que
$$n_x+n_y=2n,$$ (except for $p=3$, the RHS is $2n-1$ en su lugar).
Así que usted puede enumerar todos los $2n+1$ pares de multiplicidades $$(0,2n),(1,2n-1),\cdots (2n,0).$$
La combinación de todos estos pares, se obtiene
$$2n_3\prod_{k,p_k\ne3}(2n_k+1)$$ con soluciones distintas.
Por ejemplo, con $z=15$ obtener $2\times3$ combinaciones
$$(1,3)\text{ or }(3,1)\times(1,25)\text{ or }(5,5)\text{ or }(25,1),$$ $$(1,75)(5,15),(25,3),(3,25),(15,5),(75,1).$$
Börge
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Yo interprete $3(x*y*z)$ $3*x*y*z$ en el caso de que usted puede ver z=0 resuelve esta ecuación para cada x,y. A continuación, puede suponer $z\neq 0$, por lo que se puede repartir por z en ambos lados y obtenga $3*x*y=z^2$. Ahora podemos ver que z debe tener 3 como un Factor Entero. porque esta compuesta x o y debe tener 3 como un Factor Entero así. Ahora sustituye x por 3a y z por 3c $$\Rightarrow 3*3*a*y=(3c)^2 \Rightarrow a*y=c^2$$
ahora toma el Entero de la factorización de c^2 y encontrar cada combinación, así que una y y tienen juntos los mismos Factores.
después de que le dieron todos los tupels(a,y,c) se puede sustituir atrás, de modo que se obtiene (x,y,z) recuerde que usted también puede asumir y tener la ineger Factor de 3. por ello para obtener todos los possibilitys haces lo mismo con la sustitución y o simplemente cambiando los valores de x y y y la toma para soluciones
Creo que debería darle todas las soluciones posibles... (Si me he perdido algo, lo siento)
CiaPan
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Advertencia
Yo estaba equivocado! Mi respuesta es incorrecta – $3xy$ ser un cuadrado ¿ no implica que $3x=y$ o $x=3y$, como supuse, por lo que existen más soluciones que he encontrado.
Véase la respuesta de Yves Daoust para completar la solución.
A partir de la ecuación que dio, $z$ debe ser divisible por $3$ y (como Sam Weatherhog señala en su comentario) $3xy = z^2$.
A continuación, cualquiera de $3x = y = z$ o $x = 3y = z$ cualquier $z \in \Bbb N_+$. Esto se traduce en $(x,y,z)$ tuplas de $(n, 3n, 3n)$ o $(3n, n, 3n)$ natural $n$.
