Un mago tiene $5$ amigos. ¿Cuántos días dura la conferencia de magos? (Inclusión-Exclusión)

Question

Un mago tiene $5$ amigos. Durante una larga conferencia de magos, se encontraron con cualquier amigo en la cena $10$ veces, cualquier pareja de amigos $5$ veces, cualquier trío de amigos $3$ veces, cualquier cuarteto dado $2$ veces, y todas $5$ amigos juntos una vez. El mago comió solo $6$ tiempos. Determina cuántos días duró la conferencia de los magos.

Creo que debo utilizar la fórmula de inclusión-exclusión.

Answer 1

Esta pregunta se refiere en realidad a cuántas cenas se produjeron

Supongamos que sólo hay una cena al día

El problema nos da 6 datos sobre con cuántos amigos cenó el mago. Cuántos con 0 amigos, cuántos con 1 amigo, hasta cuántos con los 5 amigos.

El Fórmula de inclusión-exclusión dice

$$|A_1, A_2, A_3, ... A_{n-1}, A_n| = S_1 - S_2 + S_3 - S_4 + ... +(-1)^n S_{n-1} +(-1)^{n+1}S_n$$

Lo que significa que para una unión compuesta de conjuntos potencialmente superpuestos $A_1, A_2, A_3, ... A_{n-1}, A_n$ que $S_1, S_2, S-3, S_4, ... , S_{n-1}, S_n$ son subconjuntos y añadir los subconjuntos en los que un evento se cuenta un Número de veces impar y restar los subconjuntos en los que un evento fue contado un número par de veces . La gigantesca fórmula se convierte en "añadir $S_1, S_3, S_5, ...$ y restar $S_2, S_4, S_6, ...$ "

Los 6 datos del problema corresponden a estos subconjuntos

$S_1={5 \choose 1}*10$ Tenemos que elegir 1 de los 5 amigos ( "conoció a un amigo cualquiera en una cena 10 veces " )
$S_2={5 \choose 2}*5$ Cuántas formas de elegir 2 amigos ( "cualquier pareja de amigos 5 veces " )
$S_3={5 \choose 3}*3$ Cuántas formas de elegir 3 amigos ( "cualquier trío de amigos 3 veces " )
$S_4={5 \choose 4}*2$ Cuántas formas de elegir 4 amigos ( "cualquier cuarteto dado 2 veces " )
$S_5={5 \choose 5}*1$ Cuántas formas de elegir 5 amigos ( "los 5 amigos juntos una vez " )

$S_1 - S_2 + S_3 - S_4 + S_5$ Es la cantidad de noches que el mago comió con al menos 1 amigo
Pero no podemos olvidarnos del 6 veces comió solo

El número total de cenas es
$S_1 - S_2 + S_3 - S_4 + S_5 +6$
$={5 \choose 1}*10 - {5 \choose 2}*5 + {5 \choose 3}*3 - {5 \choose 4}*2 + {5 \choose 5}*1 + 6$
$=5*10 - 10*5 + 10*3 - 5*2 + 1*1 + 6 $
$=50 -50 +30 -10 +1 +6$
$=27$

Answer 2

Por comodidad llamaré al mago del título Rincewind ( $R$ ) que tiene amigos Antares ( $A$ ), Betelgeuse ( $B$ ), Castor ( $C$ ), Deneb ( $D$ ) y Enif ( $E$ ). Supongo que una cena en una agrupación más grande también cuenta para las agrupaciones contenidas más pequeñas.

Las cenas requeridas son, por nivel de agrupación, $(10,5,3,2,1)$ , además $6$ cenas solitarias para $R$ .

Así que una cena es $RABCDE$ . Esto se ocupa de la cena de los "cinco amigos" y de una de cada una de las otras categorías, por lo que tenemos $(9,4,2,1,0)$ que queda por asignar.

Entonces tenemos cinco cenas $RBCDE$ , $RACDE$ , $RABDE$ , $RABCE$ , $RABCD$ para satisfacer los conjuntos de cuatro. Esto también satisface una serie de otros conjuntos requeridos, dejando $(5,1,0,0,0)$ .

Así que entonces $\binom 52 = 10$ cenas para dos amigos, $RAB$ , $RAC$ , $RAD$ , $RAE$ , $RBC$ , $RBD$ , $RBE$ , $RCD$ , $RCE$ , $RDE$ . Esto deja sólo $(1,0,0,0,0)$ para cumplir.

Así que finalmente cinco cenas íntimas con cada uno de $R$ de los amigos, $RA$ , $RB$ , $RC$ , $RD$ , $RE$ .

Total: $6+1+5+10+5 = 27$ cenas.

Como los magos son unos glotones imparables, es muy posible que hayan tenido tres cenas al día, lo que daría para una conferencia de nueve días.