Suma de variables aleatorias ...

Question

Imagina que repetimos el siguiente bucle miles de veces:

$$ \begin{align} & \text{array} = []\\ & \text{for n} = 1: 10 000 \\ & k = 0 \\ & \text{while unifrnd}(0,1) < 0.3 \\ & k = k + 1 \\ & \text{end} \\ & \text{if k} \neq 0 \\ & \text{array} = [\text{array,k}] \\ & \text{end} \\ \end {align} $$

mientras que "unifrnd (0,1)" significa un número aleatorio extraído de la distribución uniforme en el intervalo de la unidad.

Mi pregunta es entonces: ¿Cuál es entonces el valor de k, que es el que se observa con más frecuencia, excepto k = 0? ¿Y es esa la expectativa de k?

Muchas gracias

Answer 1

Parece que sale del bucle de la primera vez que el azar es mayor que $0.3$. En ese caso, el valor más probable de $k$ es $0$. Ocurre con probabilidad $0.7$. La siguiente más probable es $1$, que ocurre con probabilidad $0.3 \cdot 0.7$, porque necesitas la primera al azar sea menor que $0.3$ y el segundo $0.7$. En general, la probabilidad de un valor $k$ es $0.3^k\cdot 0.7$

Answer 2

Desde los acontecimientos «unifrand(0,1) > 0.3» (que conducen a una repetición del mismo valor de $k$) puede venir en cualquier orden y todas estas órdenes son igualmente probables, no hay ningún valor especial de $k$ que se presenta con más frecuencia.

Edición: Con el código como dice ahora, el valor $k = 1$ será el más frecuente, y $k$ de hecho tiene una distribución geométrica.

Answer 3

Puede ser un modelo de proceso como un paseo aleatorio con la unidad de pasos en la dirección positiva. En otras palabras, definir variables aleatorias independientes $Z_i$, $i \in 1, 2, n$ de tal forma que:

$P(Z_i = 1) = \frac{1}{3}$ y

$P(Z_i = 0) = \frac{2}{3}$

Establece la posición inicial de la caminata como $S_0 = 0$ y definir:

$S_i = S_0 + \sum_{j=1}^iZ_j$

Su pregunta se reduce entonces a investigar el comportamiento de la variable aleatoria $S_n$. Específicamente, usted está pidiendo el modo de $S_n$$E(S_n)$.

Por la linealidad de las expectativas, se puede observar que:

$E(S_n) = \frac{n}{3}$

Mi intuición sugiere que el modo coincide con la media.

Answer 4

si desea que el número que tiene más probabilidades de estar hecho de una suma como este. usted necesita combinaciones para conseguir que la suma * probabilidad de cada combinación. Así,

$${n\choose m}*.3^m*.7^{n-m}$$

debe ser maximizada. según wolfram alpha no es exactamente .3*n http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximise+%28choose%28200%2Cn%29.3^n.7^%28200-n%29% 29

que es lo mejor que puedo hacer.

Edit: cambiado su pregunta, y preveo un cambio más a menos. Creo que usted está buscando para el valor esperado de k, en lugar de la más frecuentemente observada valor. Así que aquí es cómo se calcula que:

$$\sum_{n\to \infty }{n*Pr(n)}$$ where $$Pr(n) = .3^n$$

deje $r=.3$ y podemos psuedoexpand nuestra serie (para hacerlo más claro de lo que estamos haciendo) : $$ r+2r^2+3r^3+...$$ or $$r+r^2+r^3+...$$ $$r^2+r^3+...$$ $$r^3+...$$ luego tenemos a ${\frac{r}{1-r}}+r{\frac{r}{1-r}}+r^2{\frac{r}{1-r}}+... = {\frac{r}{(1-r)^2}}=30/49$ que es probablemente la respuesta que tu quieres...