¿Es la forma correcta de mostrar que$\mathcal C_{\mathcal C}(\mathbb R)$ está incompleto?

Question

Esta pregunta a continuación está inspirado por este. Basados en el pensamiento adquiridos a partir de ahí, yo estaba tratando de resolver la siguiente pregunta de Kesavan del Análisis Funcional:

Aquí va mi intento:

Para $n\in\mathbb N,$ definir $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$ por

$f_n(x)=\dfrac{1}{m}\sin x,$ si $(m-1)\pi\le x\le m\pi$ algunos $m\in\{1,2,...,n\}$

$=0,$ lo contrario

Elija $\epsilon>0.$ $\exists~p\in\mathbb N$ tal que $\epsilon>\dfrac{1}{p+1}.$

A continuación, para $m,n\ge p,$ $||f_m-f_n||=\sup_{x\in\mathbb R}|\dfrac{1}{\min\{m,n\}+1}|\le\dfrac{1}{p+1}<\epsilon$.

Por lo $\{f_n\}$ es de Cauchy.

Si es posible, deje $f_n\to f$ $\mathcal C_{\mathcal C}(\mathbb R).$ $\text{supp}f\subset[a,b]$ algunos $a,b\in R.$

Elija un número natural impar $k\in\mathbb N$ tal que $k.\dfrac{\pi}{2}>b$ $f(k.\dfrac{\pi}{2})=0.$

Pero $f_n(k.\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{1}{\frac{k-1}{2}+1}=\dfrac{2}{k+1}~\forall~n\ge k$ desde $\frac{k-1}{2}\pi\le\frac{k}{2}\pi\le\frac{k+1}{2}\pi.$

Por lo $||f_n-f||\ge|f_n(k.\dfrac{\pi}{2})-f(k.\dfrac{\pi}{2})|=\dfrac{2}{k+1}$ todos los $n\ge k,$ una contradicción.

Por lo tanto $\mathcal C_{\mathcal C}(\mathbb R)$ no es completa.

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tu prueba está bien. De hecho, utilizando su idea, me gustaría ofrecer una versión optimizada:

Tome cualquier función$0<f<1$, con soporte en$[0,1].$ Un triángulo servirá, o si quiere que sus funciones sean diferenciables, una función de relieve.

Ahora traduzca$f$ definiendo$f_n(x)=f(x-n).$. Luego, cada$f_n$ es compatible con$[n,n+1]$ y los apoyos son disjuntos.

Ahora solo defina$F_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f_k(x)}{k+1}.$ Entonces, si$n>m,\ $$|F_n(x)-F_m(x)|\le \frac{1}{m+1}$, entonces$(F_n)$ es Cauchy, pero la función de límite$F$ claramente no es compatible de manera compacta.