Inyección de $A-\lambda I$

Question

Estoy leyendo un artículo sobre determinantes y en un punto el autor afirma que:

Un número complejo $\lambda$ se llama valor propio de la matriz $A$ si $A-\lambda I$ no es inyectiva.

¿Por qué? Alguien podría aclararlo :)

¡Gracias! =)

Answer 1

Veamos $A$ como operador lineal de espacios vectoriales $V \to W$ . Un valor propio $\lambda$ y el vector propio $x$ satisfacer

$$Ax = \lambda x$$

Así que, equivalentemente:

$$( A - \lambda I ) x = 0$$

Pero $( A - \lambda I ) 0 = 0$ y $0 \ne x$ . Esto demuestra que $A - \lambda I$ no es inyectiva.

Answer 2

\begin{align*} A-\lambda I\text{ is not injective} & \iff\exists v_{1},v_{2}\colon v_{1}\neq v_{2}\text{ and }(A-\lambda I)v_{1}=(A-\lambda I)v_{2}\\ & \iff\exists x\colon x\neq0\text{ and }(A-\lambda I)x=0\\ & \iff A-\lambda I\text{ is singular}\\ & \iff\det(A-\lambda I)=0 \end{align*} La última línea relativa al determinante es probablemente la definición de valor propio con la que estás familiarizado.