Un polinomio de grado$k$ que desaparece en$kd+1$ puntos en una curva normal racional en$\mathbb{P}^d$ debe desaparecer en toda la curva

Question

Esto se afirma en el Ejercicio 1.15 de Joe Harris geometría algebraica libro (Geometría Algebraica: Un Primer Curso, Pg. 11 en mi copia). Este resultado golpeó mi imaginación, pero yo soy incapaz de resolver yo mismo o encontrar referencias a él en otros lugares. El más cercano de referencia que he encontrado es el siguiente documento, en el que afirma algo más débil: http://www.mast.queensu.ca/~tony/kn+1.ps ¿alguien sabe de alguna referencia o ver una solución fuera de la parte superior de su cabeza?

(Racional de la curva normal es una curva equivalente a la Veronese imagen $v_n(\mathbb{P^1}) \subset \mathbb{P}^n$.)

Answer 1

Parametrizar la curva de con $[s:t]\to [s^d:s^{d-1}t:\ldots :t^d]$ y conéctelo en el polinomio $F$ grado $k$. El resultado es un polinomio homogéneo de grado $kd$$s,t$. Pero cualquier homogénea polinomio en dos variables de los factores en los lineales de los factores a través de una algebraicamente cerrado de campo, y cada lineal factor corresponde a un punto. Por lo tanto, hay exactamente $kd$ puntos en la curva que se desvanecen en $F$ contando multiplicidades, a menos que el polinomio se desvanece de forma idéntica, lo que significa que $F$ desaparece en toda la curva.