$X,Y$ son espacios de Banach y $A\in B(X,Y)$ es un operador de Fredholm (es decir, las dimensiones de ker($A$) y coker($A$) son finitas), ¿son los subespacios lineales cerrados ker($A$) y $Im(A)$ complementados? (Un subespacio lineal cerrado $H$ en un espacio de Banach $Z$ se llama complementado si existe un subespacio lineal cerrado $G$ tal que $H+G=Z$ y $H \cap G=0$)
Respuesta
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Sí.
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Un subespacio $E$ de dimensión finita de un espacio de Banach $X$ es cerrado. Elija una base $e_{1},\ldots,e_{n}$ de $E$, use Hahn–Banach para extender los funcionales duales $\varphi_{i} :E \to \mathbb{R}$ determinados por $\varphi_i(e_j) = \delta_{ij}$ a funcionales lineales continuos $e_{i}^\ast: X \to \mathbb{R}$ y verifique que $P : X \to X$ dado por $Px = \sum_{i=1}^n e_{i}^\ast(x)\cdot e_i$ es una proyección de norma $\|P\| \leq n$ y rango $E.
Note que cada $x \in X$ se puede escribir de forma única como $x = Px + (1-P)x$ y que $F = \ker{P} = \operatorname{im}(1-P)$ de manera que $E \oplus F \to X$ dado por $(e,f) \mapsto e+f$ es una aplicación lineal continua con inversa $(Px,(1-P)x)$. En otras palabras, cada subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach es complementado.
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Cada subespacio cerrado $E$ de codimensión finita en un espacio de Banach $X$ es complementado.
Para ver esto, elija una base $e_{1},\ldots,e_{n}$ del espacio de Banach $X/E$, elija preimágenes $f_{1},\ldots,f_n$ de $e_1,\ldots,e_n$ bajo la proyección canónica $X \to X/E$ y note que el espacio generado linealmente $F$ de $f_1,\ldots,f_n$ es un complemento de $E$.
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Si el rango $R = T(E)$ de un operador lineal acotado $T: E \to F$ entre espacios de Banach tiene una codimensión finita en $F$ entonces $R$ es cerrado.
Para ver esto, considere el espacio de Banach $\bar{E} = E/\ker{T} = \operatorname{coim}{T}$ y factorice $T$ sobre el operador acotado inyectivo $\bar{T}: \bar{E} \to F$. Note que $R = T(E) = \bar{T}(\bar{E})$. Elija una base $f_{1},\ldots,f_{n}$ de un complemento algebraico de $R$ y considere el operador $$ S: \bar{E} \oplus \mathbb{R}^n \to F,\quad S(\bar{e},x) \mapsto \bar{T}(\bar{e}) + \sum_{i=1}^n x_i f_i. $$ Ahora observe que $S$ es una biyección continua, por lo tanto un homeomorfismo por el teorema de la aplicación abierta y concluya observando que $R = S(\bar{E} \oplus 0)$ es la imagen de un subespacio cerrado de $\bar{E} \oplus \mathbb{R}^n$, por lo tanto $R=T(E)$ es cerrado (por supuesto, este argumento también muestra que $R = T(E)$ es complementado en $F).
Ahora, sea $T:E \to F$ un operador acotado con un núcleo de dimensión finita y cuyo rango tiene una codimensión finita en $F$. Según el punto 1. $K = \ker{T}$ es cerrado y complementado, según el punto 3. $T(E)$ es cerrado y por lo tanto por 2. o de otra forma $T(E)$ es complementado en $F.
Esto implica que cada operador de Fredholm $T: E \to F$ es isomorfo al operador $$ K \oplus \bar{E} \longrightarrow T(E) \oplus C, \quad (k,\bar{e}) \longmapsto (\bar{T}\bar{e},0) $$ donde $\bar{E} = E/\ker{T}$, $C = F/T(E)$ y $\bar{T}:\bar{E} \to T(E)$ es un isomorfismo de espacios de Banach. A menudo se llama a esto la factorización canónica de un operador de Fredholm.
En términos más algebraicos, un operador de Fredholm induce dos secuencias exactas cortas split $$ \ker{T} \rightarrowtail E \twoheadrightarrow \operatorname{coim}T\quad\text{ y } \quad\operatorname{im}T \rightarrowtail F \twoheadrightarrow \operatorname{coker}{T}, $$ y, a diferencia de los operadores generales, el mapa inducido $\bar{T}:\operatorname{coim}T \to \operatorname{im}T$ es un isomorfismo de espacios de Banach. Estas secuencias exactas cortas y el isomorfismo $\bar{T}$ son en última instancia la razón por la que la teoría de índices funciona de la manera en que lo hace y por qué los “operadores de Fredholm se comportan de manera muy similar a las matrices”.
Una de las mejores fuentes sobre la teoría básica de Fredholm que conozco se encuentra en uno de los primeros capítulos de:
- Richard S. Palais: Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem, Annals of Mathematics Studies 57, Princeton University Press, Princeton NJ 1965,
una forma ligeramente ampliada de la cual se puede encontrar en el Einführung in die Funktionalanalysis de Hirzebruch–Scharlau si lee alemán.
