Sí, las coordenadas de los vectores de $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ con respecto a la matriz de $C$ será una base para $\mathbb{R}^n$.
Tenga en cuenta que usted está abusando de la notación de algo: si $B$ $C$ son bases, entonces ellos no son matrices; lo que realmente quieres es tener una base $\beta$, e $B$ es la matriz cuyas columnas son los vectores en $\beta$; y de la otra base $\gamma$, e $C$ es la matriz cuyas columnas son los vectores en $\gamma$.
De lo que tengo: desde $CS = B$, y el núcleo de $B$ es cero, así que es el núcleo de $S$: si $\mathbf{x}$ se encuentra en el núcleo de $S$, luego
$$\mathbf{0} = C\mathbf{0} = C(S\mathbf{x}) = (CS)\mathbf{x} = B\mathbf{x}.$$
Pero dado que el núcleo de $B$ es cero, lo que significa que $\mathbf{x}=\mathbf{0}$. De modo que el núcleo de $S$ es cero, lo que significa que sus columnas son linealmente independientes, por lo tanto, una base. Pero las columnas de a $S$ son las coordenadas de los vectores de los elementos de $\beta$ escrito en términos de $\gamma$, lo que le da su resultado.
Para la última pregunta, sí, estás en lo correcto. He aquí una declaración general que usted puede probar (utilizando la misma técnica que el anterior):
Si $A$ es $n\times p$, $B$ es $p\times m$, e $C$$n\times m$$AB=C$,$\mathrm{ker}(B)\subseteq\mathrm{ker}(C)$. Es decir, si $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^m$ está en el núcleo de $B$, luego está también en el núcleo de $C$.
Otra manera de atacar el problema es demostrar que $[\mathbf{v}_1]_{\gamma},\ldots,[\mathbf{v}_n]_{\gamma}$ son linealmente independientes, directamente. Pero esto es fácil: supongamos que
$$\alpha_1[\mathbf{v}_1]_{\gamma} + \cdots + \alpha_n[\mathbf{v}_n]_{\gamma} = \mathbf{0}.$$ Entonces tenemos:
$$\mathbf{0} = \alpha_1[\mathbf{v}_1]_{\gamma} + \cdots + \alpha_n[\mathbf{v}_n]_{\gamma}
= [\alpha_1\mathbf{v}_1+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n]_{\gamma}.$$
Pero esto significa que $\alpha_1\mathbf{v}_1+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}$, y desde $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ son linealmente independientes, que significa $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$.
En esencia, es el mismo argumento que tiene por encima, pero jugando directamente con los vectores en lugar de los asociados de cambio de base de las matrices.
