¿Ideal irreductible implica primer ideal en dominios de Dedekind?

Question

Un ideal es irreducible si no puede ser escrito como la intersección finita de estrictamente grandes ideales. En un Noetherian anillo cada irreductible ideal es principal, pero a la inversa no tiene. Me pregunto acerca de la situación en un Dominio de Dedekind. En un Dominio de Dedekind cada ideal puede ser un factor de forma exclusiva en un producto de primer ideales. Y cada una de las principal ideal es una potencia de un primo ideal. Por lo tanto, en un dominio de Dedekind cada irreductible ideal es una potencia de un primo ideal. Además, un primer ideal es siempre irreductible.

Deje $R$ ser un Dominio de Dedekind.

Si $A$ $B$ son ideales en un dominio de Dedekind, a continuación, $B$ se dice que dividen $A$, si existe un ideal $C$ tal que $A=BC$. Tenemos que $A\subseteq B$ fib $B$ divide $A$.

1. Definir $M$ como el conjunto de los ideales de la $R$ que es tal que si $P$ divide $AB$, entonces esto implica que $P$ divide $A$ o $B$.

2. Deje $K$ ser esos ideales en $R$ que no tiene ningún no-trivial de factorización.

En la notación de un libro que estoy utilizando (Mollin) el $M$ se define como el conjunto de primer ideales de un campo de número y el conjunto $K$ se define como el conjunto de irreductible ideales en un dominio de Dedekind. Además se afirma que un ideal $A$ pertenece a $K$ si y sólo si $A$ pertenece a $M$.

Así que mi pregunta natural son: Es el conjunto de primer ideales en un Dominio de Dedekind igual a $M$? Es el conjunto de irreductible ideales en un Dominio de Dedekind igual a $K$? I. e, demostrando que $A$ pertenece a $K$ si y sólo si $A$ pertenece a $M$ hacemos para demostrar que un ideal en un dominio de Dedekind es irreducible si y sólo si es primo?

Answer 1

Preguntar acerca de tres clases diferentes de cero ideales en un dominio de Dedekind $R$:
(a) el Primer ideales.
(b) Unfactorable ideales: si $\mathfrak{p} = IJ$ $I = R$ o $J = R$.
(c) Irreductible ideales: Si $\mathfrak{p} = I \cap J$ $I = \mathfrak{p}$ o $J = \mathfrak{p}$.

Clases de (a) y (b) son los mismos: su equivalencia de la siguiente manera fácilmente del hecho de que todo distinto de cero ideal en un dominio de Dedekind factores de forma única como producto de números primos.

Clase(c) consiste, precisamente, de las principales potencias $\mathfrak{p}^a$$a \in \mathbb{N}$. Esto se deduce de la siguiente más resultado general acerca de las intersecciones de los ideales de un dominio de Dedekind:

Lema. Vamos $I = \mathfrak{p}_1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}$, $J = \mathfrak{p}_1^{b_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{b_r}$ ser distinto de cero ideales en un dominio de Dedekind: aquí $a_i, b_i$ son enteros no negativos. A continuación,$I \cap J = \mathfrak{p}_1^{\max (a_1, b_1)} \cdots \mathfrak{p}_r^{\max (a_r, b_r)}$.

Déjeme saber si usted necesita ayuda en la demostración de esto. Si usted sabe acerca de localizaciones, esto permite un muy fácil prueba: usted puede reducir al caso en que $R$ tiene exactamente un valor distinto de cero el primer ideal, y en este caso el resultado es trivial.

Finalmente, se tiene el siguiente resultado.

Lema. Si $\mathfrak{p}$ es un ideal en un anillo conmutativo $R$, los siguientes son equivalentes:

(i) Para cualquier ideales $I$, $J$ en $R$ si $\mathfrak{p} \supset IJ$, $\mathfrak{p} \supset I$ o $\mathfrak{p} \supset J$.
(ii) $\mathfrak{p}$ es primo.

Prueba: $\neg$ i) $\implies$ $\neg$ (ii): La hipótesis dar la existencia de $x \in I \setminus \mathfrak{p}$ $y \in J \setminus \mathfrak{p}$ tal que $xy \in \mathfrak{p}$. Por lo tanto $\mathfrak{p}$ no es primo.

$\neg$ (ii) $\implies$ $\neg$ (i): Si $\mathfrak{p}$ no es primo, entonces no se $x,y \in R \setminus \mathfrak{p}$$xy \in \mathfrak{p}$. Tomar $I = (x)$, $J = (y)$.

Creo que esto responde a todas sus preguntas, pero quiero saber si me he perdido algo.