Comprensión de la prueba para demostrar que hay infinitamente muchos $n\in\mathbb{Z}^+$, que $n!+1$ es divisible por lo menos dos números primos distintos

Question

Hay otro post referente a esta pregunta; sin embargo, el otro post no se abordan algunos detalles que me preocupan en la prueba.

Prueba: Supongamos $n=p-1, p \geq 7$. A continuación,$p|(p-1)!+1$. Vamos a mostrar que el $(p-1)!+1=p^n$ no tiene soluciones.

Supongamos que no. Supongamos $(p-1)! + 1 = p^n$ tiene una solución para $p\geq 7$. A continuación,$(p-1)! =p^n-1 = (p-1)(p^{n-1}+\cdots+p+1)$. Por lo $(p-2)!\equiv n (\mod p-1)$.

Ahora supongamos que $(p-1)|n$. A continuación,$p-1\leq n$. Por lo $(p-1)!+1<p^{p-1}\leq p^n$. Por lo tanto, no hay soluciones.

Queda por demostrar que $(p-1)|(p-2)!$. Pero $p-1=2m$$2m|(p-2)!$. QED

Preguntas:

1. Mi entendimiento es que en el inicio de la prueba, Wilson del teorema se usa para mostrar que, al menos, un primer divide $n!+1$.

2. ¿Por qué queremos mostrar que $(p-1)!+1=p^n$ no tiene soluciones? La manera en que yo veo es que $p^n$ es compuesto, y básicamente estamos diciendo que $p^n\nmid (p-1)!+1$, así que no hay número compuesto se divide $n! +1$. Pero, ¿cómo y donde en la prueba de hacer realidad nos muestran que otro prime $q \neq p$ divide $n!+1$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Quiere mostrar que, al menos, dos primos se dividen $n!+1$.

¿Qué es exactamente lo contrario de esto?

"$n!+1$ sólo tiene un divisor primo, es decir, $n!+1$ es una potencia de algunos de los números primos."

Ahora, supongamos $(p-1)!+1$ es la potencia de un número primo para algunos $p\ge 7$. Sin embargo, ya sabemos que el $p|(p-1)!+1$, por lo tanto, si $(p-1)!+1$ es la potencia de un número primo, tiene que ser $p^n$, para algunas de las $p$. La prueba muestra que esto no es posible, a pesar de que debería haber especificado que como $p\ge 7$, $p-1>4$, por eso, $m>2$.

Por lo tanto, $(p-1)!+1$ tiene al menos dos primos divisores para todos los números primos $p\ge7$. Como hay infinitos números primos mayores que $7$, hemos terminado.