El producto de una cofibración con un mapa de identidad es una cofibración

Question

Se trata de un problema del libro "Modern classical homotopy theory" que no puedo resolver.

Dejemos que $i : A \rightarrow X$ sea una cofibración y $Y$ cualquier espacio. Muestra que $i : A\times Y \rightarrow X\times Y$ también es una cofibración.

Se supone que debo utilizar el siguiente resultado:

$i : A \rightarrow X$ es una cofibración si y sólo si la canónica mapa $T \rightarrow X\times I$ tiene una retracción, donde $T$ es el empuje del diagrama $A\times I \leftarrow A \rightarrow X$ .

No soy capaz de construir un mapa $X\times Y\times I \rightarrow T_2$ sin usar proyecciones (y no creo que esa sea la forma), y aunque eso esté bien no he podido demostrar que el mapa es la retracción de $T_2 \rightarrow X\times Y \times I$ . Por $T_2$ Me refiero a la expulsión de $A\times Y\times I \leftarrow A\times Y \rightarrow X\times Y$

Answer 1

Sin pérdida de generalidad $i$ puede tomarse como la inclusión de $A\subset X$ ya que las cofibraciones son incrustaciones. Sea $T$ sea el empuje del diagrama $A\times\mathbb{I}\leftarrow A\stackrel{i}{\rightarrow}X$ y que $r:X\times\mathbb{I}\rightarrow T$ ser una retractación. En la condición extra de que $Y$ es localmente compacto $T\times Y$ es el empuje del diagrama $A\times\mathbb{I}\times Y\leftarrow A\times Y\stackrel{i\times1}{\rightarrow}X\times Y$ . Entonces la existencia de retracción $r\times1:X\times\mathbb{I}\times Y\rightarrow T\times Y$ nos dice que $i\times1$ es una cofibración. Sin embargo, se supone que demostrar esto para un $Y$ por lo que la condición de "ser localmente compacto" es molesta. Hay una solución para eso. De hecho, la inclusión $i:A\rightarrow X$ es una cofibración si y sólo si $X\times\left\{ 0\right\} \cup A\times\mathbb{I}$ es un repliegue de $X\times\mathbb{I}$ . Una prueba de esto se puede encontrar en Topología algebraica de Allen Hatcher en la página 532. Aquí $X\times\left\{ 0\right\} \cup A\times\mathbb{I}$ está dotado de la topología del subespacio heredada de $X\times\mathbb{I}$ , y si es un repliegue de $X\times\mathbb{I}$ entonces se deduce directamente que $X'\times\left\{ 0\right\} \cup A'\times\mathbb{I}$ es un repliegue de $X'\times\mathbb{I}$ donde $X':=X\times Y$ y $A':=A\times Y$ . Así que la inclusión $i\times1$ ¡es una cofibración! No necesitamos empujones aquí. Nótese que el espacio $T$ puede verse como un espacio topológico que tiene el mismo conjunto subyacente, pero está dotado de la topología final con respecto a $\bar{i}$ y la incrustación $X\rightarrow X\times\left\{ 0\right\} $ . Esta topología puede ser adecuadamente más fina que la topología del subespacio. En mi opinión, te han enviado en la dirección equivocada al indicarte los empujones.

Answer 2

1. prueba de que $T\times Y\cong T_2$ o decir que $T\times Y$ es el empuje de $A\times Y\times I\leftarrow A\times Y\to X\times Y$

   • por la propiedad universal, tenemos dos flechas $i_1: A\times Y\times I\to T\times Y$ y $i_2:X\times Y\to T\times Y$ . y el diagrama de empuje en (1) conmuta
   • para probar la flecha universal, supongamos $K$ haciendo que el diagrama conmute, entonces por adjunto de $\times$ tenemos $K^Y$ conmutar en el empuje $A\times I\leftarrow A\to X$ , por lo que hay un único $T\to K^Y$ por lo que hay un único $T\times Y\to K$
2. así que la retractación que querías es $r\times \mathrm{id}_Y: X\times I\times Y\to T\times Y\cong T_2$