Prueba del carácter estrictamente creciente de $y(x)=x^{x^{x^{\ldots}}}$ en $[1,e^{\frac{1}{e}})$ ?

Question

El título se explica por sí mismo: He estado tratando de demostrar rigurosamente que $y(x)=x^{x^{x^{\ldots}}}$ es una función estrictamente creciente en el intervalo $[1,e^{\frac{1}{e}})$ desde hace un tiempo, principalmente explorando diversas manipulaciones con logaritmos y polilogaritmos, pero no he llegado a ninguna parte. Aunque es bastante sencillo demostrar que $y(\sqrt{2})>y(1)$ y si $y'(x)>0$ para algunos $x \in [1,e^{\frac{1}{e}})$ entonces $y'(x)>0$ para todos $x \in [1,e^{\frac{1}{e}})$ (ya que $y$ debe ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente), no me satisface el rigor de este argumento, aunque quizá sea yo demasiado puntilloso. Esta falta de progreso me ha llevado a explorar la posibilidad de que sólo sea estrictamente no decreciente, pero esta relajación de las restricciones no ha ayudado en absoluto. A la hora de demostrar que es una función, no sé por dónde empezar. Cualquier idea será bienvenida.

Answer 1

Es más fácil demostrar que la función inversa es estrictamente creciente. Dado que la función inversa es justo: $$ g(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{-\frac{1}{x}}$$ con un cambio de variable todo se reduce a demostrar que $h(x)=x^x$ aumenta a lo largo de $\left[\frac{1}{e},1\right]$ . Esto es trivial ya que: $$ h'(x) = h(x)\cdot\frac{d}{dx}\log h(x) = (1+\log x)\,h(x) \geq 0.$$

Answer 2

Escribimos $$x^{x^{x^{...}}} = \frac{W(-\ln(x))}{-\ln(x)}, x \neq 1$$

Lo diferenciamos. Esto se convierte en $$\frac{\ln(x)W'(-\ln(x))+W(-\ln(x))}{x\ln^2(x)} , x \neq 1$$

Usando la regla del cociente. ( W|A verificación )

Desde $e^{\frac{1}{e}}>x>1$ el numerador es positivo.

Por lo tanto, queremos demostrar que $$\ln(x)W'(-\ln(x))+W(-\ln(x))>0$$

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Sea $-\frac{1}{e}<y<0$ .

Desde $y$ es negativo, por lo que $W(y)$ es negativo, tenemos

$$0>W(y)$$

$$1>1+W(y)$$

$W(y)>-1$ por lo que el lado derecho es positivo. Por lo tanto tomando el recíproco cambiará el signo.

$$1<\frac{1}{1+W(y)}$$

$$-\frac{1}{1+W(y)}+1<0$$

$y$ es negativo, por lo que $W(y)$ es negativo. Por lo tanto, al multiplicar por él cambia el signo.

$$W(y)\left(-\frac{1}{1+W(y)}+1\right)>0$$

$$-y\frac{W(y)}{y(1+W(y))}+W(y)>0$$

$$-yW'(y)+W(y)>0$$

Sustituir $y=-\ln(x)$ , $-\frac{1}{e}<y<0$ Así pues $e^{\frac{1}{e}}>x>1$ . Esto da $\ln(x)W'(-\ln(x))+W(-\ln(x))>0$ .

Por lo tanto, la derivada es positiva y la función es estrictamente creciente.