soluciones de campo para la derivada covariante del campo vectorial restringida a cero

Question

Pregunta:

¿Cuáles son las soluciones de $\nabla_\mu A^\nu = 0 $ ¿Qué aspecto tiene?
¿Y es posible que la curvatura del espaciotiempo restrinja de alguna manera la solución a $A^\nu = 0$ ?

Esto es lo que yo entiendo y pienso actualmente.

Si un campo escalar tuviera una restricción en forma de ecuación diferencial parcial:

$$\partial_\mu \phi = 0 $$

Entonces la única solución es $\phi$ es constante.

Para una derivada covariante en su lugar:

$$\nabla_\mu \phi = 0 $$

La solución es la misma, ya que para un campo escalar la derivada covariante es sólo la derivada parcial ordinaria.

Ahora bien, ¿qué pasa con un campo vectorial?

¿Qué podemos concluir exactamente sobre un campo vectorial si su derivada covariante es cero en todas partes?

Para un campo vectorial:

$$\partial_\mu A^\nu = 0 $$

significa que cada componente es constante. Pero con una derivada covariante:

$$\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda $$

Por tanto, una constante distinta de cero $A^\nu$ no funcionará cuando los símbolos de Christoffel sean distintos de cero.

Ya que (la regla del producto se mantiene, ¿verdad?):

$$\nabla_\mu A_\nu A^\nu = \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} A^\lambda A^\nu = A^\lambda A^\nu \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} + 2 g_{\lambda\nu} A^\lambda \nabla_\mu A^\nu = A^\lambda A^\nu \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} $$

Suponiendo el caso simple de una conexión métrica compatible, eso significa: $$\nabla_\mu A_\nu A^\nu = 0 $$

Y como $A_\nu A^\nu$ es un escalar, entonces el magnitud de $A^\nu$ debe ser constante.

Me cuesta visualizar estas soluciones.

Si el espacio-tiempo es plano, entonces puedo elegir un sistema de coordenadas donde los símbolos de Christoffel sean cero en todas partes, y por tanto las componentes $A^\nu$ son constantes.

Para el espacio-tiempo curvo podría ver que hay problemas como con el teorema de la bola peluda, de tal manera que no hay manera de tener $A^\nu$ con una magnitud constante en todas partes y también distinta de cero sin entrar en contradicciones. Así que parece plausible que el hecho de que la derivada covariante sea cero podría ser en realidad mucho más restrictivo y provocar que la única solución genérica sea que el propio campo sea cero.

Con el espacio-tiempo curvo, si elijo un parche de coordenadas en alguna región pequeña tal que $A^\nu$ está siempre en la dirección z, y escalamos las coordenadas de forma que la componente $g_{33}$ es constante en este parche, entonces el requisito de que la magnitud de A sea constante significa que la derivada parcial de los componentes $A^\nu$ es cero. Pero eso a su vez significa

$$\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda = \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda = 0 \quad \implies \quad \Gamma^\nu{}_{\mu 3} = 0 \ \ \mathrm{or} \ \ A^\lambda = 0 $$

No me parece que el escalado de las coordenadas para hacer $g_{33}$ constante, causaría esto. Así que esto parece ser una condición derivada, ya sea en la geometría, o un requisito de que $A^\nu=0$ .

Entonces, ¿es el espacio-tiempo plano algo muy especial aquí? ¿Es la única solución $A^\nu=0$ ¿excepto en algunas geometrías espacio-temporales muy especiales? ¿Qué aspecto tienen estas soluciones y geometrías especiales?

Answer 1

Básicamente tienes la idea correcta: la existencia de un campo vectorial covariantemente constante es una gran restricción para la métrica.

Ya ha descubierto que $A^a$ tiene norma constante. Lo siguiente que encontramos es que $A^a$ es un vector de Killing, porque obviamente $$\nabla_{(a}A_{b)}=0.$$ Además, $A^a$ es geodésica, $A^a\nabla_a A^b=0$ y la hipersuperficie ortogonal, ya que la Condición de integrabilidad de Frobenius es $A_{[a}\nabla_b A_{c]}=0$ .

Esto significa que podemos escribir $$A_a=N \nabla_a Z$$ para algunas funciones escalares $N$ y $Z$ . De hecho, $N$ debe ser en realidad una función de $Z$ . Una forma de ver esto es desde $$\nabla_{[a}A_{b]}=\nabla_{[a}N \nabla_{b]}Z=0$$ lo que implica que los gradientes $\nabla_a N$ y $\nabla_aZ$ son linealmente dependientes. Así que redefiniendo $Z\mapsto Z'(Z)$ podemos escribir $A_a=\nabla_a Z'$ es decir, deshacerse del $N$ .

Ahora, podemos utilizar $Z'$ como una coordenada, y elegir las otras coordenadas para que el $A^\alpha\propto\delta^\alpha_{Z'}$ con una "constante de proporcionalidad" constante. Luego como $A^a$ es un vector de Killing, las componentes métricas en este sistema de coordenadas deben ser independientes de $Z'$ . Además, hemos elegido coordenadas tales que $g_{Z' \beta} = 0$ para $\beta\neq Z'$ .

Se puede ver entonces que obtenemos una métrica para un colector que es plano a lo largo de la dirección de $A^a$ . Por tanto, el colector debe ser localmente de la forma $\mathbb{R}\times M$ o $S^1\times M$ (en general podría tener la estructura de un $U(1)$ o $\mathbb{R}$ que puede tener una topología no trivial). El elemento de línea es entonces $$ds^2=Cd{Z'}^2 + h_{ij} dx^i dx^j,$$ donde $C$ es una constante y la métrica transversal $h_{ij}$ en $M$ es independiente de $Z'$ . Así que, de hecho, encontramos algunas restricciones no triviales en la métrica siempre que haya un vector constante covariante distinto de cero $A^a$ .