Curvas elípticas sin geometría

Question

Por desgracia, la geometría me aterra, por lo que yo estaba esperando para entender la base de la teoría de curvas elípticas en forma algebraica (a través de su función de campos). Sea F una trascendencia grado 1 extensión de $\overline{\mathbb{Q}}$ tales que F tiene género 1.

(i) ¿cuáles son las $\mathbb{Q}$de los puntos (por ejemplo, en términos de la DVR contenida en F)?

(ii) ¿Cuál es el significado del punto en el infinito?

(iii) ¿Cuál es el significado de coordinar cambiar entre los gráficos estándar de P$^2(\overline{\mathbb{Q}}$)?

Yo estaría especialmente interesado en las descripciones de lo que podría ser eficaz. En otras palabras, las explicaciones que el uso de la palabra "elegir" tan frecuentemente como sea posible :) Pero, de cualquier orientación sería muy apreciada!

Answer 1

Un $\mathbb Q$-punto corresponde a un DVR cuyo residuo de campo es igual a $\mathbb Q$. El campo de función no puede decir el punto en el infinito desde cualquier otro punto; la noción de "punto de un infinito" no es intrínseca, sino que se define en relación a la incorporación de la curva de a $\mathbb P^2$ (y una elección de coordenadas. en $\mathbb P^2$, así que sabemos lo que es la línea en el infinito está en $\mathbb P^2$.

Los cambios de coordenadas no tiene ningún significado en términos de la función de campo; en el mejor de los que se manifiestan como diferentes opciones de generadores.

E. g. si $E$ está dado por $y^2 = x^3 + a x + b$, luego de su campo de función $F$ es igual a $\mathbb Q(x)[y]/(y^2 - x^3 -ax - b ).$

Si fuéramos a hacer el cambio coords., dicen que escribir $x= X/Z, y = Y/Z$ en términos de homo. coordenadas y, a continuación, cambiar a $u = X/Y = x/y, v = Z/Y = 1/y,$ de modo que la ecuación para nuestra curva es $v = u^3 + a u v^2 + bv^3,$ a continuación, obtendremos la expresión alternativa $F = \mathbb Q(v)[u]/ (u^3 +uv^2 + b v^3 - v ),$ where $u = x/y,$ and $v = 1/y$.

---

De un lado comentario: es bastante desesperado para llegar muy lejos en la teoría de curvas elípticas sin pensar geométricamente. Trate de usar su conexión a tierra en el álgebra como una herramienta y punto de partida para el desarrollo de más geomeric intuición. La geometría algebraica se presta muy bien a este enfoque.