He encontrado el siguiente problema, que parece muy sencillo, pero estoy atascado en cuanto a las ideas que puedo utilizar. El enunciado es el siguiente:
Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con expectativa finita y que $\mathcal{G}_1$ y $\mathcal{G}_2$ ser dos $\sigma$ -que son independientes entre sí. Sea $X_1=E[X|\mathcal{G}_1]$ y $X_2=E[X|\mathcal{G}_2]$ . Demostrar que $Var(X) \geq Var(X_1) + Var(X_2)$ . Utilice un ejemplo para demostrar que la independencia de $\mathcal{G}_1$ y $\mathcal{G}_2$ es crucial.
Es obvio que si $\mathcal{G}_1=\mathcal{G}_2$ y $X$ est $\mathcal{G}_1$ -la desigualdad no se cumple.
Si utilizo la ley de la variación total puedo encontrar uno de los términos en la h.r., pero no tengo ni idea de cómo pasar de una sigma-álgebra a la otra y utilizar su independencia. También he pensado en utilizar de alguna manera a Jensen para obtener una desigualdad o un condicionamiento con respecto a ella. $\sigma(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2)$ pero no llegó a ninguna parte.
¿Alguna pista? Se agradece mucho la ayuda.
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Supongo que está asumiendo que $\mathbb E[|X|^2]<\infty$ ¿también?
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No se ha dado en la declaración original, pero yo lo tomaría como una suposición.