Dadas sus necesidades, aquí es cómo usted podría haber inventado el seno hiperbólico inverso, incluso si usted nunca había oído hablar de él.
Quieres una forma monotónica que crece de forma logarítmica en ambos infinitos. Intenta sumar, restar y multiplicar las funciones logarítmicas, pero que no funciona. Sin embargo, desde la función que desea es monótona, usted puede pensar acerca de la inversa de la función, que debe crecer de manera exponencial en ambos infinitos. Y la suma de exponenciales no hacer el trabajo para que.
Considerar la inversa de la función que usted ha inventado, que voy a llamar a $f$. Su inversa es $$f^{-1}(y) = \begin{cases}e^y - 1 & \text{if } y \ge 0, \\ 1 - e^{-y} & \text{if } y \lt 0.\end{cases}$$ Since $e^{-y} \le 1$ when $e \ge 0$, and $e^y < 1$ when $y < 0$, the above inverse function is quite close to the much more nicely-behaved $$\begin{align}g(y) &= e^y - e^{-y} \\ &\equiv 2 \sinh y.\end{align}$$
Así que, en cierto sentido, $f(x)$ se comporta como $\sinh^{-1} (x/2)$. Como resulta que de acuerdo al $x = 0$ (a pesar de sus derivados difieren por un factor de dos), y como $x \to \infty$, tanto el enfoque de $\ln x$ y la diferencia entre ellos disminuye como $1/x$.
