Consideremos el siguiente paseo aleatorio en una dimensión, partiendo de $r(0)=0$ . $$ r(i+1) = r(i) + \xi, $$ donde $\xi(i, r(i))$ es un incremento con distribución $P(\xi=1) = \frac{c^{r(i)}}{i-r(i)+1}$ y $\mathbb{P}(\xi=0) = 1 -\mathbb{P}(\xi=1)$ con $c<1$ constante.
La pregunta es: ¿la expectativa $\mathbb{E}[r(i)]$ va al infinito como $i$ va al infinito o converge a una constante? Por ejemplo, ¿podría ser del orden $O( \log(i) )$ ?
El proceso $(r_c(t))$ basado en $P(\xi(t,n)=1)=c^n$ salta de $n$ a $n+1$ después de un tiempo geométrico con media $1/c^n$ por lo que $(r_c(t))$ golpea $n$ después de $\Theta(1/c^n)$ pasos. Como $E(r_c(t))=\Theta(\log t)$ y $r_c(t)\geqslant r(t)$ , $E(r(t))=O(\log t)$ .
Por otro lado, $r(t)\to+\infty$ casi seguro. Por lo demás, $r(t)$ se mantendría en algún nivel $n$ para siempre después de algún tiempo $t\geqslant n$ , lo que ocurre con probabilidad $$ \prod_{s=t}^\infty\left(1-\frac{c^n}{s-n+1}\right)=0. $$
En su respuesta es cierto que, dado $i$ , $a^{Q} \leq \frac{c^Q}{i - Q + 1}$ para $Q$ suficientemente grande que depende de $i$ . Pero en el proceso $Q$ depende de $i$ de forma no trivial. Por lo tanto, es cierto que $r_a(i) \leq r(i) + O(1)$ ? P.D. He editado la pregunta utilizando sólo un índice, $i$ para que las cosas queden más claras. ¿Fue este el origen del malentendido?
En la primera parte de la respuesta, ¿cómo se deduce que $E[r(i)]=O(log[i])$ si $r_c(i) \geq r(i)$ ? Gracias por la segunda respuesta. Estoy de acuerdo en que la probabilidad de que el proceso se mantenga siempre en el mismo nivel es 0. Pero el tiempo esperado del siguiente salto debería ser infinito. Así que $E[r(i)]$ realmente crecer hasta el infinito?
Dado el nivel actual $n$ y la hora actual $i^*$ el tiempo esperado del siguiente salto es, $\sum_{i=i*}^{\infty} \, \, (i-i^*) [\prod_{s=i^*+1}^i (1 - \frac{c^n}{s-n+1})]\frac{c^n}{i-n+1}$ que es infinito. Entonces, el proceso llega a infinito a.s. pero el tiempo esperado del siguiente salto es infinito. ¿Qué podemos decir de $E[r(i)]$ ¿entonces?
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