Extensión algebraica y extensión integral.

Question

Si$K$ es un cierre algebraico de$F$, entonces como un anillo,$K$ es integral sobre$F$. ¿Es eso cierto o no?

Answer 1

Sí, es cierto. Por la definición de "algebraica de cierre", cada $\alpha\in K$ es algebraico sobre $F$; esto es, para cualquier $\alpha\in K$, hay algunas que no sea cero $f(x)\in F[x]$ tal que $f(\alpha)=0$. Pero entonces, dejando $g(x)=\frac{1}{c}f(x)$ donde $c$ es la principal coeficiente de $f$, también tenemos $g(\alpha)=\frac{1}{c}f(\alpha)=\frac{1}{c}0=0$. Debido a $g$ es un monic polinomio con coeficientes en $F$, $\alpha$ integral $F$. Debido a que cada elemento de a $K$ integral $F$, la extensión de los anillos de $K\supseteq F$ es integral.

Tenga en cuenta que esto no dependen $K$ la clausura algebraica de $F$; de hecho, el mismo argumento funciona para cualquier algebraicas extensión de $F$. Como Wikipedia dice aquí,

Si $A$, $B$ son los campos, a continuación, las nociones de "integral" y de una "integral extensión" son precisamente "algebraico " sobre" y "algebraico " extensiones" en el campo de la teoría (desde la raíz de ningún polinomio es la raíz de un monic polinomio).