El producto de variables aleatorias integrables no tiene por qué ser integrable

Question

El producto de variables aleatorias integrables no tiene por qué ser integrable

@Did dio un gran ejemplo mostrando que en general el producto de dos funciones integrables de Lebesgue no tiene por qué ser integrable. Pensé que que podría modificar ese ejemplo y demostrar esto. Sin embargo, encontré el no es fácil. Supongamos que la variable aleatoria $X,Y\in L^{1}$ . Esto significa que $E(X),E(Y)<+\infty$ Eso es, $\int XdP,\int YdP<+\infty$ . Quiero encontrar un ejemplo en el que $\int XYdP$ es infinito.

El problema de la definición de expectativa es que no es conveniente de calcular. La forma más cómoda de calcular la expectativa es utilizar la función de densidad : $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ . Sin embargo, si utilizo la función de densidad, entonces a menos que $X$ y $Y$ son independientes, construyendo la función de densidad para $XY$ y haciendo $E(XY)$ infinito será complicado.

¿Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Explicación de los ingredientes del contraejemplo por Did:

1. En $X=Y$ no limita nuestras posibilidades de encontrar un contraejemplo, porque $XY\le X^2+Y^2$ . (Por lo tanto, si $XY$ tiene un valor esperado infinito, entonces una de $X^2$ y $Y^2$ también lo hace).
2. La atención se centra en los grandes valores de $X$ porque aquí es donde duele la cuadratura.
3. La integral que da el valor esperado de $X$ debería converger, pero no demasiado rápido (como la gaussiana), sino más bien como $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ con $p>1$ por determinar.
4. Según 3, el pdf de $X$ es $c_px^{-p-1}\cdot [x>1]$ donde $c_p$ es la constante de normalización y $[\ \ ]$ el Soporte Iverson .
5. En lugar de calcular el pdf de $X^2$ podemos calcular directamente $E(X^2)$ utilizando el pdf de $X$ es $c_p\int_1^\infty x^2x^{-p-1}\,dx=c_p\int_1^\infty x^{-p+1}\,dx$
6. La integral en 5 diverge cuando $p\le 2$ . Así, cualquier $p$ en la gama $1< p\le 2$ podría utilizarse. También podemos elegir el valor entero $p=2$ .