La fórmula de proyección de poleas quasicoherent.

Question

Estoy buscando una cierta manera de demostrar los siguientes :

Deje $f. X \rightarrow S$ ser una de morfismos de esquemas. Supongamos que f es quasiseparated y quasicompact, o que X es noetherian. Deje $\mathcal{G}$ ser localmente libre de gavilla en S y $\mathcal{F}$ un quasicoherent gavilla en X. Muestran que tenemos un isomorfismo canónico: $$f_\ast \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{G} \cong f_\ast (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^\ast \mathcal{G}).$$

Yo una demostrarlo mediante el uso de un encolado argumento en cuñados , pero me gustaría una prueba de que es más global, pero termina con la comprobación de la isomorfismo en los tallos déjame mostrarte lo que quiero decir. Tenemos una morfismos $$\alpha: f_\ast \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{G} \rightarrow f_\ast \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_S} f_\ast f^\ast \mathcal{G}$$ given by tensoring the canonical morphism $\eta: \mathcal{G} \rightarrow f_\ast f^\ast \mathcal{G}$ with the identity on $f_\ast \mathcal{F}$. Se puede demostrar que también tenemos un canónica de morfismos: $$\beta: f_\ast \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_S} f_\ast f^\ast \mathcal{G} \rightarrow f_\ast (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^\ast \mathcal{G})$$ y componer $\alpha$ $\beta$ tenemos nuestra deseada de morfismos. Es que, sólo por esto, es posible comprobar este isomorfismo en los tallos? Si es así, ¿cómo podemos hacerlo? Cuáles son las propiedades que hacemos uso de los tallos de $f_\ast (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^\ast \mathcal{G})$ en ese caso?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

La proyección de la fórmula no tiene nada que ver con los esquemas y cuasi-coherente de los módulos. Que tiene de arbitrario rodeada de espacios y las poleas de los módulos de ellos. Esto se puede encontrar en EGA I o de las Pilas de proyecto. De hecho, podemos reemplazar los espacios por arbitraria sitios, de modo que realmente se convierte en una declaración general acerca de los anillos de topoi. En particular, no es necesario buscar en los tallos, que sería torpe de todos modos.

Deje $f : X \to Y$ ser una de morfismos de anillos espacios, $F$ una gavilla por primicia de los módulos de $X$ $G$ una gavilla por primicia de los módulos de $Y$. Hay un canónica homomorphism $\alpha : f_* F \otimes G \to f_* (F \otimes f^* G)$, que en virtud de la contigüidad $f^* \dashv f_*$ corresponde a $f^*(f_* F \otimes G) \cong f^* f_* F \otimes f^* G \to F \otimes f^* G$.

Ahora pretendemos que $\alpha$ es un isomorfismo al $G$ es localmente libre de rango finito. El uso de la costumbre de restricción de las propiedades de $f_*$$f^*$, podemos trabajar de forma local en $Y$. Además, si la demanda tiene por $G_1$$G_2$, luego también la $G_1 \oplus G_2$. Por lo tanto podemos suponer $G=\mathcal{O}_Y$. Pero, a continuación, $\alpha$ igual a igual con el compuesto de la canónica isomorphisms $f_* F \otimes \mathcal{O}_Y \cong f_* F \cong f_* (F \otimes \mathcal{O}_X) \cong f_* (F \otimes f^* \mathcal{O}_Y)$.