Sé que esto es probablemente una pregunta ingenua aquí en este sitio, pero yo no hago un montón de matemática superior. El grupo $\mathcal{C}[0,1]$ parece ser un importante conjunto en el marco de muchos de los textos matemáticos. Yo no he estudiado este rotundo, guardar para mi Calc clases y muy básica de análisis. Sé que hay desemboca en álgebra lineal con él así, pero ¿por qué estudiar este conjunto de funciones continuas? ¿Qué pueden los grupos de funciones entre la unidad de intervalo de decirnos acerca de nada? ¿Qué comportamiento puede ser identificado mediante el estudio de ellos? Es el más importante marco de la teoría de las medidas de probabilidad y, teniendo en cuenta la importancia de la unidad de intervalo en el contexto de la probabilidad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay algunas razones para estudiar este (en ningún orden en particular):
1) Si usted está aprendiendo cosas sobre la normativa lineal de espacios, el espacio de funciones continuas con alguna norma (hay un montón de normas que pueden poner en ella, incluyendo, pero no limitado a la sup norma, $||f||_{\infty}=\sup{\{|f(x)| | x\in{[0,1]}\}}$ e las $p$-normas $||f||_{p}=(\int{|f|^{p}})^{\frac{1}{p}}$$\infty>p\geq{1}$) es bastante sencillo ejemplo para lidiar con (es un ejemplo fácil de cortar con sus dientes, por así decirlo).
2) convergencia Uniforme de funciones continuas es un tema importante, y esto corresponde a la convergencia en el sup norma (Por ejemplo, la Piedra - Weistrass teorema: http://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem es un ejemplo de esto y estos resultados son muy útiles en el nivel más alto de matemáticas).
3) no está completo bajo el $p$-de las normas (es decir, secuencias de Cauchy no necesariamente convergen.(por ejemplo la línea real es completa, pero los racionales no son))
4) no Hay punto de vista uno puede adaptar al aprendizaje de Lebesgue de integración y algunas partes relacionadas con el análisis funcional (En calc se aprende de Riemann de integración, que resulta no ser "lo suficientemente fuerte como teoría" de la integración de un mayor nivel de matemáticas). El llamado $L^{p}$ espacios (aquí es donde el análisis funcional se inicia) puede verse como un intento de construir el espacio (ver 3), de la existente incompleta espacio. (Una idea similar es utilizado por las personas para construir los números reales como la culminación de los racionales).
etc.
