El subgrupo de orden máximo es normal

Question

Acabo de hacer este problema:

"Demuestra que si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo normal adecuado de mayor orden, entonces $G/H$ es simple."

Y actualmente estoy trabajando en este problema:

"Supongamos que $p$ es el primo más pequeño que divide $|G|$ . Mostrar que cualquier subgrupo de índice $p$ en $G$ es normal en $G$ ."

Si $p$ es el primo más pequeño que divide $|G|$ luego "subgrupo normal propio de mayor orden" y "subgrupo normal de índice". $p$ son equivalentes, ¿no es así? Basado en esto, he estado tratando de empezar con el cociente, que es de orden $p$ y debe ser simple, y trabajar hacia atrás. No sé si esto es necesariamente un buen enfoque.

No estoy avanzando mucho hacia una prueba, y cualquier indicio ( no respuestas) sería muy apreciada.

Answer 1

Un subgrupo normal de índice primo es máximo, pero no tiene por qué ser "de mayor orden". Por ejemplo, en el grupo cíclico de orden $6$ generada por $x$ , $\langle x^3\rangle$ es de índice principal (a saber, el índice $3$ ), pero no es de mayor orden (el mayor orden para un subgrupo normal adecuado es $3$ dado por $\langle x^2\rangle$ ). El error aquí es que, aunque un subgrupo normal de índice primario no puede ser contenido adecuadamente en un subgrupo apropiado, puede tener un tamaño más pequeño que un subgrupo que no lo contiene.

Además: no puedes asumir que puedes hacer un módulo de cociente un subgrupo de índice $p$ a menos que primero demuestras que el subgrupo es normal. Así que usando el cociente sería circular.

En cuanto a la prueba de este problema estándar: considerar la acción de $G$ en los cosets de la izquierda de $H$ dado por $g\cdot xH =gxH$ . Esto induce un homomorfismo de grupo de $G$ a $S_{G/H}$ el grupo de permutación de los cosets, con el núcleo contenido en $H$ .