Retiro de infinito de puntos aislados de un subconjunto de $\mathbb{R}$.

Question

Supongamos que tenemos subconjunto de $\mathbb{R}$. Luego, en cada paso, se eliminan todos los puntos aislados de lo que se mantuvo desde el primer subconjunto. Nos detenemos cuando no hay nada para quitar tan actual conjunto es vacío o no hay puntos aislados. Hay un subconjunto tal que nunca nos detenemos?

La intuición me dice lo que debemos parar después del paso uno - sin embargo no es la verdad.

Me puede dar un ejemplo, cuando nos detenemos después de dos pasos. Debemos tomar las $\{0\}\cup\{{\frac{1}{n}\}}_{n \in{\mathbb{N}}}$. En este conjunto de todos los puntos excepto en $0$ es aislado, por lo $0$ va a sobrevivir después de la primera iteración.

No puedo dar un ejemplo más pasos y voy a hacer ahora saber si es posible constuct un subconjunto infinito número de iteraciones. Alguna idea?

Answer 1

Buena pregunta. No sé la respuesta general, sin embargo, tristemente, pero puede ofrecer uno de tres-paso de aislamiento.

Tome su conjunto, $$\{0\}\cup \left\{\frac 1n;n\in \mathbb N\right\}$$ Ahora, para cada una de las $n\in\mathbb N$, tomar una secuencia $a_k^{(n)}$ que converge a $\frac 1n$ y hacer un conjunto con todos los elementos de la secuencia, junto con elemnents de su serie original.

En esta nueva serie, el primer paso será eliminar todas las secuencias $a^{(n)}$. El segundo se retire $\frac1n$ de los valores, y el tercero se retire $0$.

---

De forma iterativa, repitiendo este proceso le permitirá construir un conjunto $A_k$, lo que requerirá $k$ retiros de puntos aislados a clara. No estoy seguro de lo que pasaría si se repite el proceso de construcción infinito de veces.