Intersección de dos localizaciones

Question

Que $A$ ser un anillo comutativo con la unidad. Si $\mathfrak p,\mathfrak q\in \operatorname{Spec} (A)$ es verdadera la siguiente igualdad

$$A\mathfrak p\cap A\mathfrak q= A_{\mathfrak p\cup \mathfrak q }?$$

Aquí el símbolo $A_{\mathfrak p\cup \mathfrak q }$ significa la localización $S^{-1}A$, donde $S=A\setminus (\mathfrak p\cup \mathfrak q)$.

Edición: $A$ es un dominio y podemos incrustar $A\mathfrak p$y$A\mathfrak qQ(A)$.

Answer 1

Usted no puede intersecar dos arbitraria resumen de los anillos. Ellos tienen que ser subrings de un anillo más grande para hacer eso. Si $A$ es una parte integral de dominio (que doy por sentado que a partir de ahora), entonces localizaciones $\neq 0$ $A$ puede ser embebido en el campo de fracciones de $Q(A)$ y su intersección tiene sentido. (EDIT: Este párrafo se refiere a la primera versión de la pregunta)

La inclusión $S \subseteq A \setminus \mathfrak{p}$ da un mapa de $A$-álgebras $A_{\mathfrak{p} \cup \mathfrak{q}} \to A_{\mathfrak{p}}$. De la misma manera por $\mathfrak{q}$. Por lo tanto, tenemos $A_{\mathfrak{p}\cup \mathfrak{q}} \subseteq A_{\mathfrak{p}} \cap A_{\mathfrak{q}}$.

No sé si el resto de la inclusión tiene en general. Pero aquí hay dos casos especiales:

• $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{q}$ o $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$
• $A$ es factorial y $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ son principales.

Prueba: suponemos $\mathfrak{p},\mathfrak{q} \neq 0$, por lo que el $\mathfrak{p}=(p)$ $\mathfrak{q}=(q)$ para el primer elementos $p,q$. Si $x \in A_{\mathfrak{p}} \cap A_{\mathfrak{q}}$, elija $a,b,c,d \in A$ con $p \nmid b$, $q \nmid c$ y $x=a/b=c/d$. Podemos suponer que la $a,b$ $c,d$ son coprime. A continuación, $a$ está asociado a $c$ $b$ está asociado a $d$. En particular, $q \nmid b$ y tenemos $x=a/b \in A_{\mathfrak{p} \cup \mathfrak{q}}$.

Sospecho que también lleva a cabo cuando el primer ideales son coprime (es decir,$\mathfrak{p}+\mathfrak{q}=A$), pero por el momento no puedo probarlo.