Resolver un límite aparentemente Simple

Question

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-2}n\right)^\left(n^2\right)$$

¿Por qué esto va a 0? ¿Por qué puedo no sólo dividir cada elemento de la fracción de n y suponga que iría a 1?

Answer 1

$$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n-2}n\right)^{n^2} = \lim_{n\to\infty} \left(\underbrace{\left(1 - \frac 2 n\right)^n}_{\to e^{-2}}\right)^n = 0$$

Edit: Ya lo estoy haciendo no parece kosher (ver los comentarios), voy a explicar: Si el "interior" límite había sido $1$, entonces, de hecho, este argumento falla. Sin embargo, si se va a algo estrictamente entre el$0$$1$, entonces el argumento está muy bien, y que surge a partir de un uso implícito de que el sandwich de la regla. (Después de hacer este tipo de cosas mucho, que tienden a dejar estos detalles no escritas.)

Aquí es obtener una solución más precisa: Primero de todo, tenemos $$\lim_{n \to\infty} \left(1-\frac 2 n\right)^n = e^{-2}$$ Por lo tanto, lo suficientemente grande como para $n$, tenemos $$\left(1-\frac 2 n\right)^n < c$$ donde $c$ es cualquier constante, como estrictamente entre el$e^{-2}$$1$. Por lo tanto, tenemos (por lo suficientemente grande como $n$), $$0 \le \left( \frac {n-2} n \right) ^{n^2} < c^n \to 0$$ que por el sándwich regla implica el resultado requerido.

Answer 2

Una sutileza no es plenamente apreciado por muchos estudiantes principiantes de cálculo en todo el mundo es que todas las ocurrencias de la variable (en este caso $n$) están atados juntos. En otras palabras, ellos van hasta el infinito de la mano. Hay muchas ocasiones, donde el límite de procesos pueden ser separados, y hacerlo de una en una, pero hay TEOREMAS que rigen esas situaciones. Sí, parecen triviales, las pruebas no suelen ser muy difícil, pero sin embargo son de gran alcance! Porque dicen que podemos, de alguna manera, el tratamiento de algunas ocurrencias de la variable $n$ como si los demás no existieran.

Para los fines de explicar esta dificultad, voy a estudiar un límite diferentes, a saber $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-2}n\right)^n. $$ Muchos un principio estudiante quiere a la conclusión de que la fracción tiende a $1$, y por lo tanto la respuesta también debe ser $1$, debido a que el límite de $1^n$ $n\to\infty$ es (muy correctamente!) igual a $1$. Pero la eficacia de estos estudiantes en el cálculo de un límite iterado $$ \lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-2}n\right)\right)^m, $$ porque primero el estudio de lo que sucede a la fracción $(n-2)/n$, y sólo entonces considerar el efecto de elevar el resultado a una de alta potencia. Así que la justificación es exactamente el mismo que ofreció en su OP, y es correcto para esta iteración límite. Observe que aquí primero $n$, $m$ tiende a infinito. He indicado esto mediante el uso de paréntesis para aclarar que $n\to\infty$ first (trabajar primero en el interior de los paréntesis).

Pero también podríamos enfoque de esta otra manera, y de invertir el orden de los dos proceso de límite, y el estudio de los siguientes límites $$ \lim_{n\to\infty}\left(\lim_{m\to\infty}\left(\frac{n-2}n\right)^m\right) $$ en su lugar. Aquí un estudiante (de nuevo correctamente) argumentan que la w.l.o.g. podemos suponer que $n>2$. Por lo tanto, la fracción $(n-2)/n$ entre $0$$1$. Si $q\in(0,1)$, entonces sabemos que (tal vez un resultado que derivan en relación con una serie geométrica?) que $$ \lim_{m\to\infty}p^m=0. $$ Como esto funciona para todas las $n>2$, la respuesta a este límite, la pregunta debería ser $\lim_{n\to\infty}0=0$. De nuevo, este razonamiento es correcto, y se aplica el límite del proceso, donde el primer $m$, y sólo entonces se $n$ tiende a infinito.

Sin embargo, sabemos por nuestros estudios en torno a la constante de Napier $e$ que la respuesta al límite $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-2}n\right)^n=e^{-2}, $$ es decir, ni el cero ni uno, pero algo en el medio.

¿Qué salió mal? Nos olvidamos de que el $n$ que nos conecte a la hora de calcular el valor de la fracción $(n-2)/n$ es el mismo que el exponente $n$. Pero, ¿por qué debería importarnos, un estudiante puede llorar? Cómo es esto diferente a partir de un cálculo como $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{2n-7}\cdot\frac{3n+5}{n-4}, $$ donde se PUEDE calcular como $$ \lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{2n-7}\cdot\frac{3m+5}{m-4}\right)=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{2n-7}\right)\cdot\left(\lim_{m\to\infty}\frac{3m+5}{m-4}\right)=\frac12\cdot\frac31=\frac32? $$ Bueno, eso es exactamente porque hay un teorema que dice que cuando $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ $\lim_{n\to\infty}b_n=B$ , y TANTO $A$ $B$ son números reales, es decir, no infinitos, entonces también tenemos $\lim_{n\to\infty}a_nb_n=AB$. Que el resultado es muy simple. Y hay un resultado similar para los poderes: $\lim_{n\to\infty}a_n^{b_n}=A^B$ (siempre que $A>0$). Pero esto sólo se aplica a (finito) de números reales $A,B$. Si intenta aplicar este resultado a la secuencia $$ \left(\frac{n-2}n\right)^n, $$ puede ver que los locales no se sostienen, porque aquí los exponentes tienden a infinito en vez de algún número $B$. Por lo tanto, debemos buscar un enfoque diferente.

Este tipo de sutilezas son la razón, ¿por qué el cálculo de los libros de texto dedicar un montón de tiempo para el llamado indeterminado (que es el término correcto inglés?) casos como el de $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty\cdot0$, $1^\infty$, donde la habitual accesos directos no pueden ser justificados por un adecuado teorema (porque tal teorema existe, y la respuesta siempre es `depende').

Answer 3

$$\lim{n\to\infty}\left(\frac{n-2}n\right)^\left(n^2\right)$$ $$\lim{n\to\infty}\left(1 -2/n\right)^{n^2}$$ $$e^{\lim_{n\to\infty}\left({\left(\frac{-2}{n}\right)}\times n^2\right)}$$ $$e^{-\infty} =0;$$