Encontrar todos los valores enteros de $x$, $3^{x}\equiv 18\pmod{99}$

Question

Problema:

Encontrar todos los valores enteros de $x$

$$3^{x}\equiv 18\pmod{99}$$

Tentativa:

$3^{x}\equiv 18\pmod{99}$ De dividir por 9 para obtener

$$3^{x-2}\equiv 2\pmod{11}$$

Desde aquí, quiero esta ecuación modular para reducir a la forma

$$3^{\phi(11)}\equiv 1\pmod{11}$$

por de Euler φ teorema, pero fuimos atrapados allí.

¿Hay mejor enfoques o soluciones elegantes a este problema? ¡Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Su solución es básicamente la manera correcta de ir; si usted puede encontrar una sola $x$ que $3^{x-2}\equiv 2\pmod{11}$, entonces usted sabe que $x+n\varphi(11)$ fue también una solución* para cada entero $n\geq 0$. Sin embargo, resulta que los poderes de la $3$ mod $11$$\{1,\,3,\,9,\,5,\,4\}$, así que realmente no hay solución a $3^{x-2}\equiv 2\pmod{11}$, por lo tanto no hay soluciones a la ecuación. No hay ninguna manera en particular para llegar a esta conclusión distinta de la informática de los poderes de la $3$ mod $11$ a mano.

*Sin embargo, si usted está buscando todas las soluciones, que sería de la forma $x+nm$ donde $x$ es el primer número entero de que es titular, $n$ es arbitraria entero no negativo, y $m$ es la multiplicación de la orden de $3$ mod $11$, $5$ en lugar de $10=\varphi(11)$. De nuevo, tendrías que calcular la multiplicación el orden, pero es útil saber que $m$ divide $\varphi(11)$ para este cálculo. Es un punto discutible aquí, dado que no hay soluciones, aunque.