Probar la continuidad de una función de valor absoluto

Question

Cómo puedo probar el $f: x \mapsto x|x|$ de la función es continuo sobre el $\mathbb{R}$ definición epsilon-delta.

He probado:

Dado un cierto $\epsilon$ queremos demostrar que existe un $\delta$ tal que $|x-x_0|

A partir de la RHS, obtener: $$|x|x|-x_0|x_0|| \leq |x|x|| + |x_0|x_0||$ $ implica $$|x|x|-x_0|x_0|| \leq x^2 + x_0^2$ $

Pero entonces, ¿cómo transformar esto en $|x-x_0|$ o debo usar otro método?

(Pude declaro que $x$ es continua, y por lo tanto es $|x|$. ¿Y el producto de 2 funciones continuas es continuado)?

Answer 1

Sí, puede utilizar ese razonamiento, que el producto de dos funciones continuas es continuo (y $\rm{id}$ y $|\cdot|$ están, de hecho, continuo), para mostrar que $f$ es continua. Prueba de $\varepsilon$$\delta$definición sigue siendo un buen ejercicio.

Consejo: ¿Cómo usted probar que el producto de dos funciones continuas $g,h$ es continuado? ¿Puede usted escribir la prueba en términos de $g\left(x\right)=x$ y $h\left(x\right)=|x|$?

Answer 2

Nota que se puede escribir (por la desigualdad triangular) $$|(x+h)|x+h| - x|x|| = |(x+h)|x+h| - x|x+h| + x|x+h| - x|x|| \leq (|(x+h)|x+h| - x|x+h||) + (|x|x+h| - x|x||) = |x+h|\cdot|h|+|x|\cdot||x+h|-|x|| \leq |x+h|\cdot|h|+|x|\cdot|h| \leq (|x|+|h|)\cdot|h|+|x|\cdot|h|$ $

pero $h \rightarrow 0 \ $ y si $|h|

Answer 3

No voy de epsilon-delta. Puesto que las dos funciones tienen límites por todas partes, su producto tiene el producto de los dos límites como límite sí mismo en todas partes, puesto que los límites son iguales a los valores de las funciones, el producto de los límites es igual al producto de los valores de las funciones. La prueba es muy básica, usted puede comprobarlo en Spivak o realmente más aclamados libros de texto de cálculo o notas en cualquier momento te gusta :)