Prueba de una desigualdad que $e^x$.

Question

<blockquote> <p>Demostrar que $e^{x-1} \geq x, $ cada $x$.</p> </blockquote> <p>No me permiten utilizar MVT o integrales, pero IVT y derivados están permitidos.</p> <p>He tratado de definir una función $f(x)=e^{x-1}-x$ y $\,f'(x)=e^{x-1}-1$ así que la función tiene mínimo en $x=1$ donde $y=0$, por lo tanto la desigualdad sostiene.</p> <p>¿Es bueno? ¿Hay otra forma que implican derivados?</p> <p>¡Gracias!</p>

Answer 1

Su forma es correcta. Aunque no sé de otra manera, creo que el camino es fácil de entender.

Answer 2

La prueba es correcta, suponiendo que conoces la función exponencial es creciente. Tal vez debería mencionarlo. Otra forma, no requieren derivados, es que tenga en cuenta que si $x \leq 1$, entonces el $e^{x-1} \geq e^0 = 1 \geq x$ desde $\exp$ va en aumento, mientras que si $x \geq 1$, desde $\ln$ va en aumento, la propiedad de la comparación de la integral definida da $\ln(e^{x-1}) = x-1 =\int_1^x 1\,dt \geq \int_1^x 1/t\,dt = \ln x$, lo que implica $e^{x-1}\geq x$.

Answer 3

Asegúrese de que se logre un mínimo global en $x=1$. Esto queda garantizado si $f'0$, $x>1$.

Answer 4

Por desigualdad $$\left(1+\frac {x-1}n\right)^n\ge 1+n\frac{x-1}n=x$ ¡$ de Bernoulli (tan pronto como $\frac {x-1}n\ge -1$, que es el caso de casi todas las $n$). En el límite de la izquierda converge a $e^{x-1}$ (por defeinition, dependiendo de la fuente)