Encontrar matrices desconocidas en un sistema de ecuaciones matriz simultánea

Question

Me he encontrado con un problema espinoso en mi investigación, que es demasiado complicado y específico a preguntar aquí. Sin embargo, tiene cierta similitud con el siguiente problema, y la comprensión de cómo resolver este "juguete" versión podría ayudarme a resolver mi problema real.

Así, supongamos que tengo tres matrices real $X$ $(n\times p)$, $Y$ $(m\times n)$ y $Z$ $(p\times m)$, y deseo encontrar otros tres (real) de matrices de $A$ $(n\times m)$, $B$ $(m\times p)$ y $C$ $(p\times n)$ tal que

$$ AB = X\\ BC = Y\\ CA = Z. $$

¿Cómo puedo encontrar $A$, $B$ y $C$?

Este es, efectivamente, $mn+np+pm$ ecuaciones en $mn+np+pm$ incógnitas, por lo que parece que podría tener una solución única, pero las ecuaciones son no lineales. No podemos asumir que las matrices son invertible, porque en general no son cuadrados. ¿Cómo pudo un problema a ser abordado? Si no hay solución analítica, sugerencias sobre cómo resolver este tipo de cosas numéricamente se agradece.

Answer 1

Deje $m=n=p$. Para genéricos (cf. la definición más abajo en (*)) de matrices de $X=[x_{i,j}],Y=[y_{i,j}],Z=[z_{i,j}]$ no se exactamente $2^n$ soluciones complejas en $A,B,C$.

Prueba: (*): $(x_{i,j}),(y_{i,j}),(z_{i,j})$ se supone que para ser mutuamente trascendental $\mathbb{Q}$, los números racionales campo. A continuación, $X,Y,Z$ es invertible y si $B$ es conocido, $A,C$ conocen demasiado. Tenemos $BZB=YX$ que es equivalente a $(BZ)^2=YXZ$. Por otra parte $YXZ$ $n$ distintos de cero autovalores $(\lambda_i)_i$. Los autovalores de a $BZ$ están en el formulario de $(\mu_i)_i$ donde $\mu_i^2=\lambda_i$ $BZ,YXZ$ viaje. Por la interpolación de Lagrange teorema, hay $2^n$ soluciones complejas en $BZ$ y, por tanto, $2^n$ soluciones en $B$ y, en consecuencia, $2^n$ soluciones complejas en $A,B,C$.

EDIT: Ahora, supongamos que el $m,n,p$ son cualquier enteros. Podemos suponer que la $m=\inf(m,n,p)$. Se obtiene, como en el anterior, $(BZ)^2=YXZ$ donde $YXZ$ es un genérico (invertible) $m\times m$ genérico de la matriz. Por lo tanto, hay $2^m$ soluciones en $BZ$ y en la mayoría de las $2^m$ soluciones en $B=(BZ)^{-1}YX$. Queda por encontrar $A,C$, que no es difícil, el uso de la pseudo-inversa de cada solución en $B$.