Una pregunta anterior 371 = 0x173 (¿Palíndromos decimales/hexidecimales?) describe números cuyas representaciones decimal y hexadecimal son inversas entre sí.
Aparte de los números triviales de una cifra, sólo hay $5$ números con esta propiedad. Mi pregunta: ¿por qué son todos múltiplos de $53$ ?
$$53 = 35_{16} = 53 \times 1$$
$$371 = 173_{16} = 53 \times 7$$
$$5141 = 1415_{16} = 53 \times 97$$
$$99481 = 18499_{16} = 53 \times 1877$$
$$8520280 = 0820258_{16} = 53 \times 160760$$
La condición de palíndromo dada es un caso especial de una secuencia de enteros positivos $\{a_i\}_{i=0}^n$ que satisface $$ N = \sum_{i=0}^n a_i 10^i = \sum_{i=0}^n a_i 16^{n-i} $$ En este caso se deduce que $$ a_0 = \frac{\sum_{i=1}^n a_i\left(10^i-16^{n-i}\right)}{16^n-1} $$ Entonces podemos escribir $$ \begin{align} N & = a_0 + \sum_{i=1}^n a_i 10^i \\ & = \sum_{i=1}^n a_i \left(10^i+\frac{10^i-16^{n-i}}{16^n-1}\right) \\ & = \frac{1}{16^n-1} \sum_{i=1}^n a_i \left(16^n10^i-16^{n-i}\right) \\ & = \frac{1}{16^n-1} \sum_{i=1}^n a_i 16^{n-i}\left(160^i-1\right) \end{align} $$ Desde $159 \mid 160^i-1$ por cada $i\ge 0$ y $\operatorname{ord}_{53} 16 = \operatorname{ord}_{53} 10 = 13$ , entonces si $13 \nmid n$ debemos tener $53 \mid N$ .
Por supuesto, esto se generaliza a las bases $B_1,B_2$ . Si $$ N = \sum_{i=0}^n a_i B_1^i = \sum_{i=0}^n a_i B_2^{n-i} $$ entonces podemos escribir $$ N = \frac{1}{B_2^n-1}\sum_{i=1}^n a_i B_2^{n-i} \left((B_1B_2)^i-1\right) $$ y de manera similar $$ N = \frac{1}{B_1^n-1}\sum_{i=0}^{n-1} a_i B_1^i \left((B_1B_2)^{n-i}-1\right) $$ y por lo tanto $N$ es divisible por $$ \frac{B_1B_2-1}{\gcd(B_1B_2-1,B_1^n-1,B_2^n-1)} $$
Por ejemplo, podemos encontrar un patrón similar para los palíndromos en las bases $10$ y $13$ . $10\times 13-1 = 43\times 3$ y $\operatorname{ord}_{43} 10=21$ Así pues, para $0<n<21$ dígitos palíndromos emparejados en estas bases son divisibles por $43$ Por ejemplo $$ 43_{10} = 34_{13} \\ 774_{10} = 447_{13} = 43 \times 18 \\ 218870_{10} = 078812_{13} = 43 \times 5090 $$
Para un ejemplo en el que el patrón se rompe, veamos $B_1=4,B_2=5$ entonces $B_1B_2-1 = 19$ . Entonces tenemos $$ 1030_4 = 0301_5 = 19 \times 4 \\ 1212020_ = 0202121_5 = 19 \times 344 $$ Pero $\operatorname{ord}_{19} 4=\operatorname{ord}_{19} 5=9$ Así que cuando $n=9$ tenemos $19 \mid \gcd(B_1^n-1,B_2^n-1)$ y puede ser cancelado. Por ejemplo $$ 2103133210_4 = 0123313012_5 = 2^2 \times 89 \times 1697 $$
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