¿Continuidad uniforme permite empujar el límite interior integral?

Question

Digamos que tengo un % de funciones continuas (uniformemente) $f:[a,b] \to \mathbb{R}$y una función arbitraria $h:\mathbb{R}^2 \to [a,b]$ tal que $$ \lim{t\to 0} ~h(t,x) = h(0,x) = x $$ % todos $x$. Me gustaría poder concluir eso $$ \lim{t\to 0}\int_a^BF(h(t,x)) dx = \int_a^bf (x)dx. $$

¿Es empujar el límite dentro de la integral justificado en esta situación?

Answer 1

Como estado, si definimos $$y_n = f_n(x) $$ and $$y = f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$ entonces es legítimo estado $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {{f_n}\left( x \right)dx = } \int\limits_a^b {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $$ si la convergencia es uniforme en el $[a,b]$.

Aquí te dejo un teorema que tengo de Piskunov o Apostol del Cálculo (no recuerdo cual):

THEROEM Deje $\sum u(x)_k$ ser una serie de funciones uniformemente convergente en un intervalo cerrado $I$. Entonces si $x, \alpha\in I$ $$\int_{\alpha}^x s(t) dt = \sum \int_{\alpha}^x u_k(t) dt$$ where s(x) is the sum of the series (i.e. the limit as $n \to \infty$). Esto usualmente se expresa como "un uniformemente convergente la serie puede ser integrado plazo de sabios".

Por otra parte, si $\sum u(x)_k$ $\sum u'(x)_k$ U. C. a continuación, usted tiene que $$s'(x) = \sum u'(x)_k$$

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EDIT: voy a añadir dos ejemplos de la notación $f_n(x)$

Deje $f_n(x) = \tanh(nx)$. Entonces es claro que el $f_n(x)$ converge a$0$$x=0$$\frac{\pi}{2}$$x>0$. Por lo tanto usted tiene una suma de funciones continuas que converge a un discontinua.

Deje $f_n(x) = \displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{xn^2}{2^n}$. A continuación, la función converge a $y = 6 x$ (tenga en cuenta que $x$ no está indexado). Hay casos más complejos, es posible que desee buscar en libros y webs.