Dejemos que $A$ y $B$ sean subconjuntos medibles de Lebesgue de $(0,1)$ tal que $m(A)>1/2$ y $m(B)>1/2$ . Demostrar que existe $a \in A$ y $b \in B$ tal que $a+b=1$ .
Estaba haciendo esto asumiendo que no se sostiene entonces $\forall a \in A$ y $b \in B$ tenemos $a+b>1$ o $a+b<1$ entonces no fui capaz de conseguir alguna contradicción.
Sugerencia: Considere el conjunto $C=\{1-a:a\in A\}$ .
A continuación se ocultan más detalles.
Nuestro objetivo es demostrar que $B\cap C\neq\emptyset$ . Pero $m(A)=m(C)$ , ya que $a\mapsto 1-a$ conserva las medidas. Así que $m(B)+m(C)>1$ , lo que implica $B\cap C\neq\emptyset$ desde $B$ y $C$ están ambos contenidos en $(0,1)$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
