Los espacios de cobertura universal de espacios homotópicamente equivalentes son homotópicamente equivalentes.

Question

Estoy trabajando en un ejercicio de Topología Algebraica de Hatcher (ejercicio 1.3.8):

Permita que $\tilde X$ y $\tilde Y$ sean espacios recubridores simplemente conexos de los espacios $X$ e $Y$ conectados por trayectorias y localmente conexos por trayectorias. Muestre que si $X \simeq Y$ entonces $\tilde X \simeq \tilde Y$.

El ejercicio recomienda usar el siguiente resultado de antes en el libro de texto:

Un mapa $f: X \to Y$ es una equivalencia homotópica si existen mapas $g, h: Y \to X$ tales que $fg \simeq \mathbb{1}$ y $hf \simeq \mathbb{1}$.

Este problema ha sido resuelto aquí y también aquí, pero ambas pruebas incluyen un paso que parece ser un poco saltado. Es posible que me esté perdiendo un argumento muy simple, pero esta es la única pieza con la que tengo problemas.

Esto es lo que tengo hasta ahora: Permita que $p : \tilde X \to X$ y $q: \tilde Y \to Y$ sean los respectivos mapas recubridores, y permita que $f : X \to Y$ y $g : Y \to X$ sean inversos homotópicos (entonces $gf \simeq \mathbb{1}_X$ y $fg \simeq \mathbb{1}_Y$). Considere el mapa $fp : \tilde X \to Y$, y el homomorfismo inducido $(fp)_*: \pi_1(\tilde X) \to \pi_1(Y)$. Dado que $\tilde X$ y $\tilde Y$ son simplemente conexos, $(fp)_*(\pi_1(\tilde X)) = 0 = q_*(\pi_1(\tilde Y))$, así que por el criterio de elevación (prop. 1.33 en Hatcher), tenemos un elevamiento $\tilde f : \tilde X \to \tilde Y$ de $fp : \tilde X \to Y$. Del mismo modo, tenemos un elevamiento $\tilde g : \tilde Y \to \tilde X$ de $gq: \tilde Y \to X$.

Esto nos da que $p\tilde g \tilde f = gq\tilde f = gfp \simeq p$. Llame a esta homotopía $h_t : \tilde X \to X$, de modo que $h_0 = p\tilde g \tilde f$ y $h_1 = p$. Por la propiedad de elevación homotópica, dado que $\tilde g \tilde f : \tilde X \to \tilde X$ eleva $p \tilde g \tilde f$, existe una homotopía $\tilde h_t$ entre $\tilde g \tilde f$ y un elevamiento $\tilde p$ del mapa recubridor $p : \tilde X \to X$. En particular, $p\tilde p = p.

Este es mi problema: En el primer enlace que compartí, afirman que $\tilde p$ es una transformación de cubierta de $\tilde X$ (es decir, un homeomorfismo con la propiedad de que $p \tilde p = p$). En el segundo de los enlaces, afirman algo más fuerte: que por la unicidad de los elevamientos, de hecho $\tilde p = \mathbb{1}_{\tilde X}$. El problema con la primera de estas respuestas es que no está claro para mí que $\tilde p : \tilde X \to \tilde X$ sea un homeomorfismo. El problema con el segundo es que la unicidad de los elevamientos solo se aplica si podemos demostrar que $\tilde p$ fija un punto de $\tilde X$, lo que tampoco está claro. (Además, $\tilde p = \mathbb{1}_\tilde X parece ser demasiado pedir porque entonces uno podría mostrar de manera similar que $\tilde q = \mathbb{1}_{\tilde Y}$, lo que implica que $\tilde g \tilde f \simeq \mathbb{1}_{\tilde{X}$ y $\tilde f \tilde g \simeq \mathbb{1}_{\tilde{Y}$, y estamos listos sin usar la pista recomendada).

La prueba puede completarse fácilmente después de que se resuelva esto, pero tengo problemas para justificarlo. ¿Hay alguna buena razón por la cual $\tilde p : \tilde X \to \tilde X$ sea un homeomorfismo, o mejor aún, el mapa identidad de $\tilde X$? ¡Gracias!

Answer 1

Puedes entender esto más claramente si haces un seguimiento de los puntos base. Una vez que eso se hace, la clave es aplicar, una y otra vez, las propiedades de unicidad de la teoría de elevación, que usas para decirte que este mapa es igual a ese mapa.

Arreglemos los puntos base $x \in X$ y un punto base elevado $\tilde x \in X$. Sea $\tilde x' = \tilde p(\tilde x)$, también una elevación de $x$.

El mapa $\tilde p: \tilde X \to \tilde X$ es el mapa único (por teoría de cubrimientos) que es una elevación de $p: \tilde X \to X$ tal que $\tilde p(x)=x'.

También existe (por teoría de cubrimientos) un mapa único $\tilde p_1: \tilde X \to \tilde X$ que es la elevación del mapa $p: \tilde X \to \tilde X$ tal que $\tilde p_1(x')=x$.

La composición $\tilde p_1 \tilde p: \tilde X \to \tilde X$ es una elevación del mapa $p$ tal que $\tilde p_1 \tilde p(x)=x$. El mapa identidad $\mathbb{1}_{\tilde X}$ cumple con la misma propiedad: es una elevación del mapa $p$ tal que $\mathbb{1}_{\tilde X}(x)=x$. El mapa caracterizado por esta propiedad es único (nuevamente por teoría de cubrimientos) y así $\tilde p_1 \tilde p = \mathbb{1}_{\tilde X}.

Un argumento similar muestra que $\tilde p \tilde p_1 = \mathbb{1}_{\tilde X}.

Por lo tanto, $\tilde p$ y $\tilde p_1$ son inversas entre sí, por lo tanto cada una es una homeomorfismo.

Ahora, en cuanto a la cuestión de demostrar que $\tilde p = \mathbb{1}_{\tilde X}$, no has incluido suficiente información para ese propósito. El lema de elevación garantiza la unicidad de una elevación para un punto dado y una imagen dada de ese punto. Y, como has reportado la prueba, esa información no se da. Si pudieras estructurar la prueba con puntos específicamente nombrados y las imágenes específicamente nombradas de esos puntos, y si puedes hacer esto de manera que $\tilde p$ fije algún punto de $\tilde X$, entonces la unicidad de la elevación garantizaría que $\tilde p = \mathbb{1}_{\tilde X}$.

Answer 2

Quizás haya algunas consideraciones técnicas que estoy pasando por alto, pero así es como pensaría en esto:

Sea $x\in X$ cualquier punto. Para cualquier cubierta conectada $X'\rightarrow X$, si se elige un punto en la fibra $x'\in p^{-1}(x)$, el mapa $p$ induce un homomorfismo: $$p_* : \pi_1(X',x')\rightarrow \pi_1(X,x)$$ Por la propiedad de elevación de homotopía de los espacios de cobertura, este mapa es una inyección, y por lo tanto (después de verificar algunos detalles más) obtenemos una biyección entre las clases de isomorfismo de los espacios de cobertura de $X$ y las clases conjugadas de subgrupos de $\pi_1(X,x)$ (donde diferentes elecciones de puntos base $x'\in p^{-1}(x)$ generan subgrupos conjugados). Esto es simplemente el Teorema 1.38 de Hatcher.

Ahora, si $X' = \tilde{X}$ es simplemente conexo, entonces para cualquier elección de punto base $\tilde{x}\in\tilde{X}$, $\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}) = 1$, y por lo tanto, a través de la correspondencia anterior, esto corresponde al subgrupo trivial de $\pi_1(X,x)$. Dado que el subgrupo trivial es único, la correspondencia anterior implica que cualquier par de espacios de cobertura simplemente conexos de $X$ son isomorfos.

Ahora, si $f : X\rightarrow Y$ es un mapa de cobertura (por ejemplo, un isomorfismo), entonces obtenemos dos espacios de cobertura simplemente conexos de $Y$, a saber $$\tilde{X}\rightarrow X\stackrel{f}{\rightarrow}Y,\qquad\text{y}\qquad \tilde{Y}\rightarrow Y$$ Dado que $\tilde{X},\tilde{Y}$ son ambos simplemente conexos, la discusión anterior implica que son isomorfos como espacios de cobertura de $Y$, y por lo tanto a fortiori son isomorfos como espacios topológicos.

Espero que eso ayude.