¿Cómo funciona el oponente ' s ras afectan las probabilidades de tu casa completa?

Question

Un lindo probabilidad intuición de la prueba:

Deje $f$ la probabilidad de ser tratado de una casa completa en una mano de cinco cartas, de un aleatoriamente. cubierta estándar. ($f \approx 0.001468$).

Ahora veamos el caso de dos jugadores se repartan las manos, y el jugador muestra que ella tiene un color. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de $f_2$ que las cinco cartas repartidas al jugador 2 es una casa llena?

Parece claro que vamos a tener $f_2 < f$ debido a que si un jugador tiene una casa llena debe ser un poco más probable que el otro ha pares y otros grupos de la misma fila, y un color no tiene ninguno de esos. Pero para poner a prueba su intuición, cuán pequeño es el efecto?

Es $f_2$ más que el 99% de % de$f$? Más de 95%? Más del 90%? o al menos el 90%?

EDITAR lo que yo había escrito $h$ "casa" en la primera frase. Luego usé $f$ "plena", más adelante.

Answer 1

Buena pregunta. Yo voy a dar mi espontánea respuesta intuitiva, un cálculo rápido y, a continuación, un spoiler en la prueba de cálculo exacto.

Mi espontánea, intuitiva respuesta fue, como usted escribió: "un poco" – algo parecido a $99\%$ o $98\%$.

Entonces hice un cálculo rápido: La parte más difícil de la casa completa es de los tres de una clase. En lugar de $13$ rangos de $4$, ahora hay sólo $8$ rangos de $4$ $5$ rangos de $3$, y solo se $\frac14$ de posibilidades de tener un trío en las filas de $3$, por lo que el factor debe ser algo parecido a $(8+\frac54)\div13\approx71\%$.

Aquí está el cálculo exacto:

Hay $5\cdot4\cdot\binom33\cdot\binom32=60$ maneras para formar tanto el triple y a la par de que se agote el rango. Hay $5\cdot8\cdot\binom33\cdot\binom42=240$ maneras de formar sólo el triple de agotamiento de la clasificación.
Hay $5\cdot8\cdot\binom43\cdot\binom32=480$ maneras de formar sólo a la par de que se agote el rango.
Hay $8\cdot7\cdot\binom43\cdot\binom42=1344$ maneras de formar ni el triple ni a la par de que se agote el rango. Por lo tanto la probabilidad es $$\frac{60+240+480+1344}{\binom{47}5}=\frac{708}{511313}\approx0.001385\;,$$ por lo que el factor es de alrededor de $94\%$. De lo que se plantea la pregunta de por qué mi estimado rápido era tan malo. :-)