Principal valor de 1 / x y algunas preguntas sobre análisis complejo en Peskin ' libro de texto QFT s

Question

Cuando aprendo QFT, estoy molesta por muchos problemas en el análisis complejo.

1) $$\frac{1}{x-x_0+i\epsilon}=P\frac{1}{x-x_0}-i\pi\delta(x-x_0)$$

No puedo entender por qué $1/x$ puede tener un valor principal, porque no es una función de varios valores. Estoy muy confundido. Y cuando me enteré de la complejidad del análisis, no he visto esta fórmula, ¿alguien puede decirme donde puedo encontrar esta fórmula de la prueba.

2) $$\frac{d}{dx}\ln(x+i\epsilon)=P\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$$

3) Y también me encuentro con esta fórmula. Aparentemente $f(x)$ tiene una rama corta, entonces $$f(z)=\frac{1}{\pi}\int_Z^{\infty}dz^{\prime}\frac{{\rm Im} f(z^{\prime})}{z^{\prime}-z}$$ Puede que nadie puede decir que toda teorema y su prueba, y lo que se quiere expresar.

Ahora estoy muy confundido por estas fórmulas, porque yo no lo he leído en ningún tipo de complejos, el análisis de libro y nunca se ha enseñado a manejar un integral con la rama de corte. Puede alguien darme toda la prueba y donde puedo consultar.

Answer 1

La primera ecuación, $$\frac{1}{x-x_0+i\epsilon}=P\frac{1}{x-x_0}-i\pi\delta(x-x_0)$$ en realidad es una notación abreviada para su correcta forma completa, que es $$\underset{\epsilon\rightarrow0^+}{lim}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{x-x_0+i\epsilon}\,dx=P\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{x-x_0}\,dx-i\pi f(x_0)$$ y es válido para funciones analíticas en la mitad superior del plano-y desaparecen con la rapidez suficiente que la integral puede ser construido por un infinito de contorno semicircular.

Esto puede ser demostrado por la construcción de un contorno semicircular en la mitad superior del plano-de radio $\rho\rightarrow\infty$, con un guión colocado en $x_0$, haciendo uso del teorema de los residuos adaptados a semi-arcos circulares. Ver Saff, Snider Fundamentos de Análisis Complejo, la Sección 8.5 De la Pregunta 8.

El tercero es el de Kramers-Kronig relación, como Funzies mencionado.