(Ver aquí para la notación.) En el espacio de Minkowski, si $p\prec q$, entonces no hay spacelike curva de $c:[0,1]\to \mathbb{R}^{n-1,1}$$c(0)=p$$c(1)=q$. Esto es evidente a partir de un diagrama de espacio-tiempo. Aquí un "spacelike curva" es una $C^1$ asignación de una degenerada inverval en un colector de Lorenz con todo spacelike vector tangente.
Tome el cilindro $M=S^1\times\mathbb{R}$ con el de Lorenz métrica $\mathrm{d}s^2=-\mathrm{d}\theta^2+\mathrm{d}t^2$. Este espacio-tiempo no es causal, los círculos $t=\mathrm{const.}$ están cerrados timelike curvas. Deje $\Sigma$ ser una "superficie" de la constante de $\theta$. Está claro que si $p,q\in\Sigma$, entonces existe un spacelike curva de $c$ conexión de los dos. Pero si están lo suficientemente cerca, entonces existe un timelike curva de $\lambda$ conexión de los dos así. Por lo $p\prec q$ (o al revés). Por lo tanto el resultado anterior por espacio de Minkowski no se aplica a todos los spacetimes.
Por lo tanto mi pregunta es: ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes en el espacio-tiempo de la topología y de la métrica, de manera que $p\prec q$ $\implies$ no existe spacelike curva que conecta $p$$q$?
Algunas observaciones: $J^+(p)\neq M$ cualquier $p$ es necesario. (De lo contrario $p\prec q$ todos los $q\in M$, en particular aquellas vinculadas a $p$ por un spacelike la curva.) Por lo $M$ debe ser causal, y, probablemente, aún fuertemente causal. Tal vez uno puede invertir la pregunta: si $p,q$ puede ser conectado por un spacelike curva, ¿cuáles son las condiciones para que $p\not\prec q$? Entonces, supongamos $p$ $q$ están contenidos en una superficie de Cauchy. Hay un spacelike curva de la conexión de ellos, pero ellos no pueden estar conectados por una causal de la curva debido a una causal de la curva se intersecta con una superficie de Cauchy de una vez.
