Hallar el coeficiente de $x^{25}$ en $(1 + x^3 + x^8)^{10}$ ?

Question

Hallar el coeficiente de $x^{25}$ en $(1 + x^3 + x^8)^{10}$ .

He intentado pensar en esto combinatoriamente, pero no he conseguido que tenga sentido. También he intentado aplicar algunas identidades, sólo para llevarme a callejones sin salida. ¿Alguna pista?

Answer 1

"La única manera de formar una $x^{25}$ término es reunir dos $x^8$ y tres $x^3$ . Dado que existen ${{10}\choose{2}} =45$ vías de elegir dos $x^8$ del $10$ multiplicandos y $8$ formas de elegir tres ${{8}\choose{3}}= 56$ formas de elegir $x^3$ de los restantes $8$ multiplicandos, la respuesta es $45×56 = 2520$ ." Igual que asimut con una redacción ligeramente diferente.

Answer 2

Pista: ¿Puedes escribir $25$ como una suma de ochos y treses?

Answer 3

El exponente 25 puede surgir como $2\cdot 8 + 3\cdot 3 + 5\cdot 0$ solamente. Así que hay que contar las palabras de longitud $10$ compuesto por dos 8, tres 3 y cinco 0. La combinatoria básica da el resultado $$\binom{10}{2}\binom{8}{3} = 2520\text{.}$$