Desigualdad para la resistencia combinada de dos resistencias conectadas en paralelo

Question

Pregunta exacta: en teoría de circuitos eléctricos, la resistencia combinada $R$ % dos resistencias $R_1>0$y $R_2>0$ conectadas en paralelo obedece $$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ $

Mostrar que $R

Answer 1

Tenemos $$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.\tag{1}$$ Tenga en cuenta que $$R_1+R_2=(\sqrt{R_1}-\sqrt{R_2})^2+2\sqrt{R_1R_2}.\tag{2}$$ El lado derecho de (2) es claramente $\ge 2\sqrt{R_1R_2}$. Se sigue de (1) que $$R\le \frac{R_1R_2}{2\sqrt{R_1R_2}}=\frac{\sqrt{R_1R_2}}{2}.$$

Comentario: Esta es una mayor desigualdad que la que está en el post.

De otra manera: Ya que usted menciona su Calc I clase, vamos a utilizar cálculo. Deje que el producto se $R_1R_2$ ser fijo, decir igual a $k$. Entonces tenemos $$R=\frac{k}{R_1+R_2}.$$ El uso más familiar de notación, escribir $x$ en lugar de $R_1$, e $y$ en lugar de $R_2$. Queremos calcular el máximo de $$R(x)=\frac{k}{x+y},$$ dado $xy=k$, en términos de $k$. Así que queremos minimizar $x+y$. Eso significa que queremos minimizar $f(x)$, donde
$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{k},$$ y $x$ rangos positivos reales. Tenga en cuenta que $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+k.$$ Ahora podemos ver que se alcanza el mínimo en $x=\frac{1}{\sqrt{k}}$, y que el valor mínimo es $\frac{2}{\sqrt{k}}$. De ello se deduce que el valor máximo de $R$ $xy=k$ es igual a $\frac{\sqrt{k}}{2}$. Ese es precisamente el resultado que ha demostrado más arriba, sin cálculo.

Answer 2

Usando AM, desigualdad de GM tenemos $$\frac{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}2\ge\sqrt{\frac1{R_1R_2}}$ $